微元累积思想,定积分在几何上的应用(面积篇).ppt

1.直角坐标系下求面积 例1. 计算两条抛物线 例4. 求椭圆 例5 求由摆线 例6. 计算阿基米德螺线 例7. 计算心形线 例9. 计算心形线 作 业 * 第五章 定积分的应用 微元累积思想 第一节 回顾 曲边梯形求面积的问题 a b x y o 将曲边梯形面积表示为定积分的步骤： 分割 局部近似 累加 取极限 观察上述四步我们发现，第二步最关键，因为 最后的被积表达式的形式就是在这一步被确定的， 即只要把近似式 中的变量记号改变一下即可 而第三、第四两步可以合并成一步： 在区间 上无限累加，即在 上积分. 至于第一步，它只是指明所求量具有可加性，这是 面积A能用定积分计算的前提， 于是，上述四步可以 做如下简化： a b x y o 前面这四步可简化为： 这种方法称为微元累积法或积分元素法． 面积微元或面积元素 微元累积法解题的步骤： 1）选取积分变量，确定积分区间； 根据问题的具体情况选积分变量 (如 x ), ： 求出与该区间对应的U的微元 应用方向： 　　平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；功；水压力；引力和平均值等． 第二节 定积分在几何上的应用 一、平面图形的面积 二、体积 三、平面曲线的弧长 曲边梯形的面积 曲边梯形的面积 一、平面图形的面积 面积 一般情形： 在第一象限所围 所围图形的面积 . 解: 由 得交点 解 面积微元 解 先求两曲线的交点 例3 如果曲边梯形的曲边 　　　　　　　　　　　　　　　　 曲边梯形的面积 给出时 由参数方程 实质:定积分的换元法. 2.参数方程情形下求面积 解: 第一象限内， 所围图形的面积 . 有 利用椭圆的参数方程 应用定积分换元法得 当 a = b 时得圆面积公式 利用对称性 , 得 的一拱与 x 轴所围平面图形的面积 . 解 3. 极坐标系下求面积 该区间上的面积微元 所以曲边扇形的面积 对应 ? 从 0 变 解: 到 2? 所围图形面积 . 所围图形面积. 解: (利用对称性) 解 例8 由对称性,总面积等于第一象限面积的 4倍 与圆 所围图形的面积 . 解: 利用对称性 , 所求面积 P258 习题5.2 (A)部分：1(1)(3)(5); 2; 4; 6. (B)部分：1