微分方程组的消元法和首次积分法.ppt

目录 上页 下页 返回 结束 * 微分方程组的消元法和首次积分法 这一节,我们介绍微分方程组的两种求解方法: 消元法和首次积分法,这两种方法对求解一些简单的 微分方程组是很有效的方法,但在学习这两种方法时 必需注意它们的局限性. 一、 微分方程组的消元法 将一阶微分方程组： 中的未知函数 只保留一个，消去 其他未知函数，得到一个未知函数的高阶方程， 其他未知函数.这种方法常用于对由二个或三个 先求出这个未知函数，然后由其他方程再求出 方程构成的常系数微分方程组的求解. 例1 求解方程组 解 保留 ，消去 .由方程组的第二个方程 解出 ，得 （5.1） 对上式两边关于 求导，得 （5.2） 将（5.1）和（5.2）代入原方程组的第一 个方程得 这是一个二阶常系数线性齐次方程，通解为 （5.3） 将上式代入（5.1）得 故原方程组的通解为 其中 是任意常数. 注 上面把（5.3）代入（5.1）经过求导， 而没有经过求积分就求出了 ，若把（5.3） 代入原方程组中的第一式，使得 这是一个一阶线性非齐次方程，它的通解为 （5.4） 在（5.4）中出现了三个任意常数 这与前面求得不一致，事实上，当把（5.4） 及 代入原方程组就发现，当 且仅当 时，（5.4）才可成为方程组的 解，故（5.4）不是原方程组的通解，其中 是一个多余的任意常数.因此为避免出现增解， 在求出一个未知函数后，不要再用求积分的方 法来求其他的未知函数. 例2 求解方程组 解 将第一个方程求导得 代入第二个方程得 （5.5） 此方程是不显含自变量t的可降阶的方程，设 即有 （5.6） 由 ，分离变量并积分得 代入方程（5.5）得 从而有 对上式积分得 或 再由第一个方程得 由（5.6）还可得 从而有 由 第一方程得 该组解包含在上面所得的 通解中,故原方程组的通解为 设 是定义在某区间I上的具有n阶连续 二 微分算子与线性微分方程组 这里介绍微分算子D及其用消元法解线性 微分方程组的应用. 导数的函数，微分算子D被定义为 这里相应地定义算子多项式： 由算子多项式L的定义可以看出L是线性算子. 例如设 则 下面用微分算子的方法求解常系数线性微 分方程组. 设 是四个线性微分算子多项 式，且给定如下的线性微分方程组： （5.7） 用算子 作用第一个方程的两边，用算子 作用第二个方程的两边，得 （5.8） 由上面的第二个方程减去第一个方程得 （5.9） 用算子表示的方程（5.9）是一个仅依赖于变 量 的一个高阶微分方程，可以求出 再利用 （5.7）的任何一方程可把 求解出来. 例 3 求解方程组 解 设 则 由上面的方程得 该二阶线性常系数非齐次微分方程通解为 （5.10） 将（5.10）代入原方程组的第一个方程中得 该一阶线性非齐次微分方程通解为 （5.11） 将（5.10）和（5.11）代入原系统的第二个 方程中得 故原方程组的通解为 注 对例3，也可以用下面的方法求解 形式的方程，该方程为一个原方程组的首次积分. 三 微分方程组的首次积分法 首次积分法是将方程组 经适当组合化为一个可积分的微分方程，这个 例 4 求解方程组 方程的未知函数可能是方程组中几个未知函数 组合形式,积分此方程可以得到未知函数的组合 解 将两个方程相加得 以 作为一个未知函数，并对上式积分得 （5.12） 方程（5.12）就是原方程组的一个首次积分， 再将两个方程相减得 以 作为一个未知函数，对上式积分得 （5.13） 方程（5.13）是原微分方程组的另一个首次 积分，由（5.12）和（5.13）可解出未知 函数 这里 是任意常数，因此原方程组通解为 例 5 求解方程组 解 把方程组中的第一个方程乘以 第二个方 程乘以 然后两式相加得 即有 把 看作未知函数，积分得 目录 上页 下页 返回 结束