有理数计算的一些问题概要.ppt

若令 则有 ak+1=ak 由此推出 ak=ak-1=‥‥=a1= 即 如果有n使得Sn=17170,此即 3Sn=(n+2)(n+1)p=2×3×5×17×101 因为 p是素数，其可能值为2，3, 5，17，101。 若p=2,则(n+1)(n+2)=3×5×17×101不可能是两 个连续自然数之积； 若p=3,则(n+1)(n+2) ≠2×5×17×101 若p=5，则2×3×17×101=102×101是两个连续 自然数之积; ∴n=100; 若n=17，则2×3×5×101不可能是两个连续 自然数之积； 若p=101，则2×3×5×17不可能是两个连续 自然数之积。 答：p=5,n=100。 (二)由递推公式求数列的和 例5.7 求下列各数列的和： (1)?12+22+…+n2;(2)13+23+…+n3. 解:(1)(k+1)3-k3=3k2+3k+1， 于是 将上面n个等式相加起来得 1 1 1 1 1 2 1 1 3 1 1 3 4 4 6 即 即 (k+1)4-k4=k4+4k3+6k2+4k+1-k4 =4k3+6k2+4k+1 24-14=4·13+6·12+4·1+1 34-24=4·23+6·22+4·2+1 44-34=4·33+6·32+4·3+1 ……………… (n+1)4-n4= 4·n3+6·n2+4·n+1 将上面n个等式相加得 所以 例5.8 求Sn=23+53+83+‥‥+(3n-1)3的和。 解： 设 f(k)=(3k-1)3=27k3-27k2+9k-1 由此递推公式得 f(1)=23=27×13-27×12+9×1-1 f(2)=53= 27×23-27×22+9×2-1 f(3)= 83=27×33-27×32+9×3-1 ‥‥‥‥‥‥ f(n)=(3n-1)3= 27×n3-27×n2+9×n-1 将上面n个式子相加得 例5.9 求 解：设 由递推公式得 将上面n个式子相加得 在解决一些问题时，经常采用这样的思路：将 所有可能的情况列举出来，用已知条件或实际 经验试验、并进行验证，找出规律性的东西， 总结出算法，最后得到所求的结果。虽然这种 办法似乎很笨，但这是探索未知的有效方法。 在采用列举法求解时，为求得问题的解，先考 虑找出可能的解。 六、列举、试验、分析法? 在采用列举方法时,应注意给出的条件(约束), 使列举的情况尽可能少，即要先排除掉不可能 的情况，找出可能的情况，并进行分析、 试验和讨论，最终筛选出所要求的结果。 例6.1 两个正整数之和为50，它们的最大公约 数是5，求这两个正整数。 上述过程实质上是寻求问题的算法的过程。 一旦问题的算法找到，那么，同类问题就用这 种算法（公式）计算。 例4.1 解: (同分母的分数分子求和，可化为公式求和) 例4.2 计算： 解: (设法裂项,连消也是数列求和的基本方法) (整数部分与真分数部分分开) 4.2???连消法求和 连消法是数列求和的基本方法，即原来n 项求和，设法“连消”，变成2—3项后再求和。 裂项是连消的基本方法之一，前面已经应用。 还有利用结合律，对算式重新分组，利用求和 公式、裂项等方法，找出规律，进行简算。 ? 例4.3 计算 解: 例4.4 计算： 解: 令 （化为等比数列求和） 例4.5 比较 解: 先求和,再比较: 例4.7 计算 （第8届华杯赛初一组决赛第一试试题1）。 解: 例4.8 解: 重新分组,再利用求和公式: 例4.9 计算： 解: 裂项连消: 例4.10 计算： 解: 找连消规律:由于 递推方法是一种计算方法,也是一种思考方法。 它对我们并不是陌生的,一个人从开始认数时， 就产生了递推思想，人总是先认识自然数的1， 然后认识比1大的自然数2，3，……。这实际上 已经存在一个递推公式： ak+1=ak+1 (1) 这就是说,自然数中第k个数加上1,就得到它后面 的一个数ak+1.由(1)可得 五、递推方法 ak+2=ak+1+1 (2) (2)-(1)得到 ak+2-ak+1=ak+1-ak 即 ak+2=2ak+1-ak 或 2 ak+1=ak+ak+2 (3) (3)式比（1）式更具有一般性，它表示的就 是我们熟悉的等差数列，而且它可以表示所 有的等差数列的递推关系