2014届高考数学：187抛物线.doc

一、选择题 1．已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为(　　) A.　B．1C. D. 解析：根据抛物线定义与梯形中位线定理，得线段AB中点到y轴的距离为：(|AF|＋|BF|)－＝－＝. 答案：C 2．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，那么|AB|＝(　　) A．10 B．8C．6 D．4 解析：由k2x2－2(k2＋2)x＋k2＝0 x1＋x2＝＝6k＝±1. |AB|2＝(1＋k2)(x1－x2)2＝64 |AB|＝8. 答案：B 3．将两个顶点在抛物线y2＝2px(p＞0)上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n，则(　　) A．n＝0 B．n＝1 C．n＝2 D．n≥3 解析：设直线y＝(x－)，与抛物线y2＝2px联立可得x＝p，故可得两交点坐标为(p，p－2p)和(p，p＋2p)，(p，p－2p)与(，0)之间的距离为2(2－)p，(p，p＋2p)与(，0)之间的距离为2(2＋)p，故等边三角形有两个，选C. 答案：C 4．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左顶点与抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，则双曲线的焦距为(　　) A．2 B．2 C．4 D．4 解析：由，解得， 由题意得知，得，又知＋a＝4， 故a＝2，b＝1，c＝＝， 焦距2c＝2.故选B. 答案：B 5．设M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是(　　) A．(0,2) B．[0,2] C．(2，＋∞) D．[2，＋∞) 解析：圆心到抛物线准线的距离为p，即4，根据已知只要|FM|＞4即可．根据抛物线定义，|FM|＝y0＋2，由y0＋2＞4，解得y0＞2，故y0的取值范围是(2，＋∞)． 答案：C 6．已知点P为抛物线y2＝2x上的动点，点P在y轴上的射影是M，点A的坐标是(，4)，则|PA|＋|PM|的最小值是(　　) A. B．4 C. D．5 解析：焦点F，当P、A、F三点共线时|PA|＋|PM|才有最小值，此时|PA|＋|PM|＝|PA|＋|PF|－，即|PA|＋|PM|的最小值为|FA|－＝ －＝5－＝.故选C. 答案：C 二、填空题 7．坐标原点为O，抛物线y2＝2x与过其焦点的直线交于A、B两点，则·＝__________. 解析：依题意，抛物线y2＝2x的焦点坐标为F(，0)，不妨考虑特殊情况，即直线AB与x轴垂直，此时解得A(，1)，B(，－1)，所以·＝－1＝－. 答案：－ 8．设A(x1，y1)、B(x2，y2)是抛物线y＝2x2上的两点，直线L是AB的垂直平分线．当直线L的斜率为时，则直线L在y轴上截距的取值范围是__________． 解析：设L在y轴上的截距为b，则直线L的方程为y＝x＋b，过点A、B的直线可设为y＝－2x＋m，则A、B的坐标是方程组的解，即x1、x2是方程2x2＋2x－m＝0的两根，从而有x1＋x2＝－1，Δ＝4＋8m＞0m＞－　. 又AB的中点N(－，m＋1)在直线L上，即m＋1＝－＋bm＝b－，将m＝b－代入得b＞.故直线L在y轴上截距的取值范围是. 答案： 9．设圆C位于抛物线y2＝2x与直线x＝3所围成的封闭区域(包含边界)内，则圆C的半径能取到的最大值为________． 解析：依题意，结合图形的对称性可知，要使满足题目约束条件的圆的半径最大，圆心位于x轴上时才有可能，可设圆心坐标是(a,0)(0＜a＜3)，则由条件知圆的方程是(x－a)2＋y2＝(3－a)2.由 消去y得x2＋2(1－a)x＋6a－9＝0，结合图形分析可知，当Δ＝[2(1－a)]2－4(6a－9)＝0且0＜a＜3，即a＝4－时，相应的圆满足题目约束条件，因此所求圆的最大半径是3－a＝－1. 答案：－1 三、解答题 10．设抛物线顶点在原点，开口向上，A为抛物线上一点，F为抛物线焦点，M为准线l与y轴的交点，已知|AM|＝，|AF|＝3，求此抛物线的方程． 解析：作ABy轴于B，ACl于C. 据抛物线定义，|AC|＝|AF|. |AF|＝3，|AC|＝3，从而|BM|＝|AC|＝3. |AM|＝，在RtABM中，|AB|2＝|AM|2－|BM|2＝17－9＝8. 在RtABF中，|BF|2＝|AF|2－|AB|2＝9－8＝1， |BF|＝1. 从而|FM|＝|BF|＋|BM|＝4或|FM|＝|BM|－|BF|＝2，即抛物线的焦准距p＝4或p＝2，又抛物线开口向上，故抛物线方程为x2＝8y或x