2014届高考数学：134简单的三角恒等变换.doc

一、选择题 1．如果α，且sinα＝，那么sin＋cos＝(　　) A.　B．－C. D．－ 解析：sinα＝－，＜α＜π，cosα＝－. 则sin＋cos＝cosα＝－，故选D. 答案：D 2．函数f(x)＝sin2x＋sinxcosx在区间上的最大值是(　　) A．1 B.C. D．1＋ 解析：f(x)＝＋sin2x＝sin＋. 又x， 2x－， f(x)max＝1＋＝.故选C. 答案：C 3．已知tanα和tan是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，则a、b、c的关系是(　　) A．b＝a＋c B．2b＝a＋c C．c＝b＋a D．c＝ab 解析： tan＝＝1. －＝1－. －b＝a－c.c＝a＋b. 答案：C 4.的值是(　　) A. B. C. D. 解析：原式＝ ＝ ＝＝. 答案：C 5．设a＝(sin56°－cos56°)，b＝cos50°cos128°＋cos40°cos38°，c＝，d＝(cos80°－2cos250°＋1)，则a，b，c，d的大小关系为(　　) A．a＞b＞d＞c B．b＞a＞d＞c C．d＞a＞b＞c D．c＞a＞d＞b 解析：a＝sin(56°－45°)＝sin11°. b＝－sin40°cos52°＋cos40°sin52°＝sin(52°－40°)＝sin12°. c＝＝cos81°＝sin9°. d＝(2cos240°－2sin240°)＝cos80°＝sin10°. b＞a＞d＞c. 答案：B 6．设M(xR)为坐标平面内一点，O为坐标原点，记f(x)＝|OM|，当x变化时，函数f(x)的最小正周期是(　　) A．30π B．15π C．30 D．15 解析：f(x)＝|OM| ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝2. 所以其最小正周期T＝＝15. 答案：D 二、填空题 7．若锐角α、β满足(1＋tanα)(1＋tanβ)＝4，则α＋β＝__________. 解析：由(1＋tanα)(1＋tanβ)＝4， 可得＝，即tan(α＋β)＝. 又α＋β(0，π)，α＋β＝. 答案： 8．在ABC中，已知cos＝，则cos2A的值为__________． 解析：cos＝coscosA－sinsinA ＝(cosA－sinA)＝， cosA－sinA＝＞0. ∴0＜A＜，0＜2A＜ 2得1－sin2A＝，sin2A＝. cos2A＝＝. 答案： 9．已知sinαcosβ＝，则cosαsinβ的取值范围是__________． 解析：方法一：设x＝cosα·sinβ， 则sin(α＋β)＝sinα·cosβ＋cosα·sinβ＝＋x， sin(α－β)＝sinα·cosβ－cosα·sinβ＝－x. －1≤sin(α＋β)≤1，－1≤sin(α－β)≤1， ∴ ∴－≤x≤. 方法二：设x＝cosα·sinβ， sinα·cosβ·cosα·sinβ＝x. 即sin2α·sin2β＝2x. 由|sin2α·sin2β|≤1，得|2x|≤1，－≤x≤. 答案： 三、解答题 10．已知函数f(x)＝2sinxcosx＋cos2x. (1)求f的值； (2)设α(0，π)，f＝，求sinα的值． 解析：(1)f(x)＝sin2x＋cos2x， f＝sin＋cos＝1. (2)f＝sinα＋cosα＝. sin＝，cos＝±. sinα＝sin＝×－×＝. α∈(0，π)，sinα＞0. 故sinα＝. 11．已知0＜α＜，β为f(x)＝cos的最小正周期，a＝，b＝(cosα，2)，且a·b＝m，求的值． 解析：因为β为f(x)＝cos的最小正周期，故β＝π. 因a·b＝m，又a·b＝cosα·tan－2， 故cosα·tan＝m＋2. 由于0＜α＜， 所以＝ ＝ ＝ ＝2cosα ＝2cosα·tan ＝2(2＋m) ＝4＋2m. 12．设a＝，b＝(4sinx，cosx－sinx)，f(x)＝a·b. (1)求函数f(x)的解析式； (2)已知常数ω＞0，若y＝f(ωx)在区间上是增函数，求ω的取值范围； (3)设集合A＝，B＝{x||f(x)－m|＜2}，若AB，求实数m的取值范围． 解析：(1)f(x)＝sin2·4sinx＋(cosx＋sinx)·(cosx－sinx) ＝4sinx·＋cos2x ＝2sinx(1＋sinx)＋1－2sin2x ＝2sinx＋1， f(x)＝2sinx＋1. (2)f(ωx)＝2sinωx＋1，ω＞0. 由2kπ－≤ωx≤2kπ＋， 得f(ωx)的增区间是，kZ. ∵f(ωx)在上是增函数， ?. ∴－≥－且≤，ω∈. (3)由|f(x)－m|＜2，得－2＜f(x)－m＜2， 即f(x)－2＜m＜f(x)＋2. A?B，当≤x≤π时，