微积分与解方程.ppt

0.迭代法的一般含义 0.迭代法的一般含义 0.迭代法的一般含义 再如：编程求a+aa+aaa+ …+ aa…a(n个a)的值。其中a是一个从1到9之间的一个数字。要求a和n从键盘输入。 提示：累加项为term =term*10+a, term初值为0。 考虑序列： a0 = 0 a1 = a = a0*10 + a a2 = aa = a1*10 + a a3 = aaa =a*100+ a*10 + a = 10*(a*10 + a) + a = a2*10 + a a4 = aaaa = a3*10 + a …… an = an-1*10 + a 本题等价于求迭代序列的前n项和 0.迭代法的一般含义 再如 求1!+2!+3!+4!+…+10! 考虑序列： a1=1! = 1 a2 = 2 * a1 a3 = 3 * a2 a4 = 4 * a3 ……. an = n * an-1 1.用普通迭代法求方程的近似实根 1.用普通迭代法求方程的近似实根 例1：编写程序，用普通迭代法求方程f(x)=x+sin(1.2x)-2.15=0在区间[0，5]上的近似实根。迭代初值自选，精确到0.0001。 2.用二分法求方程的近似实根 二分法的基本思想： 设 f(x) 是连续、实函数, 求方程f(x)=0 的实根。 先找到区间(a,b)，使得f(a)，f(b)异号，说明在区间(a,b)内一定有实根： (1) 求f((a+b)/2)。如果f((a+b)/2)=0，则(a+b)/2 就是方程的一个实根，任务完成。 (2) 如果f((a+b)/2)与f(b)异号, 则说明方程在区间((a+b)/2，b)内实根，令a=(a+b)/2，转步骤(1)继续计算。 (3) 如果f((a+b)/2)与f(a)异号，则说明方程在区间(a,(a+b)/2)内有零点，令b=(a+b)/2，转步骤(1)继续计算。 2.用二分法求方程的近似实根 例2：编写程序，用二分法求一元非线性方程f(x)=2x+sinx-2.15=0 在区间 (0，5)上的近似实根r，精确到0.0001。 3. 用牛顿切线法求方程的近似实根 又称Newton迭代法。 其基本思路： 假设f(x)是连续、光滑、实函数，求f(x)=0的实根。 设r是f(x) = 0的根，选取x0作为r初始近似值，过点（x0,f(x0)）做曲线y = f(x)的切线L，L的方程为y = f(x0)+f‘(x0)(x-x0)，求出L与x轴交点的横坐标 x1 = x0-f(x0)/f’(x0)，称x1为r的一次近似值。 过点（x1,f(x1)）做曲线y = f(x)的切线，并求该切线与x轴交点的横坐标 x2 = x1-f(x1)/f‘(x1)，称x2为r的二次近似值。重复以上过程，得r的近似值序列。 3. 用牛顿切线法求方程的近似实根 例3：编写程序，用Newton迭代法求方程f(x)=2x+cosx-2.6=0在区间[0，4]上的近似实根r，迭代初值自选，精确到0.0001。 提示:牛顿切线法的迭代公式为 x = x – f (x) / f ’ (x) 定积分概念回顾 4.用矩形法求定积分近似值 矩形法的基本思想： 求定积分 把区间[a,b]平均分成n个小区间，以每个小区间左端点的函数值为宽、小区间长度为高作矩形，然后把这n个小矩形的面积相加，即为所求的定积分的近似值。 显然，小区间数n越大，求得的定积分的近似求值的精度也越高。 4.用矩形法求定积分近似值 5.用梯形法求定积分近似值 梯形法的基本思想： 求定积分 把区间[a,b]平均分成n个小区间，以每个小区间左端点的函数值为上底、右端点的函数值为下底、小区间长度为高作梯形，然后把这n个小梯形的面积相加，即为所求的定积分的近似值。 显然，小区间数n越大，求得的定积分的近似求值的精度也越高。并且可以看出，对于同样的小区间数，梯形法的精度比矩形法高。 5.用梯形法求定积分近似值 5.用梯形法求定积分近似值 课堂小结 熟练掌握本节所讲的所有算法， 能够举一反三。 * 教学重点： 1.用普通迭代法求方程的近似实根 2.用二分法求一元非线性方程在某区间上的近似实根 3.用牛顿切线法（又叫Newton迭代法）求方程在某区间 的近似实根 4.用矩形法求一元函数在某区间上的积分近似值 5.用梯形法求一元函数在某区间上的积分近似值 6.加密、解密算法 迭代法也称辗转法，是一种不断用变量的旧值递推新值的过程。 例如：上一讲的【例5】：Fibonacci（斐波纳契数列） a0= 0 a1= 1 a2=a0+a1 a3=a1+a2 a4+=a2+a3 a5+=a3+a