微积分习题课《多元函数微分学》.ppt

习题课 一、 基本概念 例1. 已知 思考与练习 分析: 2. 证明: 二、多元函数微分法 例2. 设 解2 例3.设 练习题 解答提示: 3. 设 三、多元函数微分法的应用 例5.在第一卦限作椭球面 令 练习题： * 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、 基本概念 二、多元函数微分学 三、多元函数微分学的应用 多元函数微分学 连续性 偏导数存在 方向导数存在 可微性 1. 多元函数的定义、极限 、连续 定义域及对应规律 判断极限不存在及求极限的方法 函数的连续性及其性质 2. 几个基本概念的关系 机动 目录 上页 下页 返回 结束 求出 的表达式. 解1 令 即 解2 以下与解法1 相同. 则 且 机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1. 讨论二重极限 解1 解2 令 解3 令 时, 下列算法是否正确? 解1 解2 令 机动 目录 上页 下页 返回 结束 此法第一步排除了沿坐标轴趋于原点的情况, 此法排除了沿曲线趋于原点的情况. 此时极限为 1 . 第二步 未考虑分母变化的所有情况, 解3 令 机动 目录 上页 下页 返回 结束 此法忽略了? 的任意性, 极限不存在 ! 由以上分析可见, 三种解法都不对, 因为都不能保证 自变量在定义域内以任意方式趋于原点 . 特别要注意, 在某些情况下可以利用极坐标求极限, 但要注意在定义域内 r , ? 的变化应该是任意的. 同时还可看到, 本题极限实际上不存在 . 证: 利用 故f 在 (0,0) 连续; 知 在点(0,0) 处连续且偏导数存在 , 但不可微 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 而 所以 f 在点(0,0)不可微 ! 机动 目录 上页 下页 返回 结束 显示结构 隐式结构 1. 分析复合结构 (画变量关系图) 自变量个数 = 变量总个数 – 方程总个数 自变量与因变量由所求对象判定 2. 正确使用求导法则 “分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导” 注意正确使用求偏或全导符号 3. 利用一阶微分形式不变性 机动 目录 上页 下页 返回 结束 其中 f 与F分别具 解1 方程两边对 x 求导, 得 有一阶导数或偏导数, 求 (研) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 方程两边求微分, 得 化简 消去 即可得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 有二阶连续偏导数, 且 求 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1. 设函数 f 二阶连续可微, 求下列函数的二阶偏导数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解答提示: （1） 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.设 求 提示: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ① ② 利用行列式解出 du, dv ： 机动 目录 上页 下页 返回 结束 代入①即得 代入②即得 有连续的一阶偏导数 , 及 分别由下两式确定 求 又函数 ( 研 ） 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 两个隐函数方程两边对 x 求导, 得 解得 1.在几何中的应用 求曲线在切线及法平面 (关键: 找出切向量) 求曲面的切平面及法线 (关键:找出法向量) 2. 极值与最值问题 极值的必要条件与充分条件 求条件极值的方法 (消元法, 拉格朗日乘数法) 求解最值问题 机动 目录 上页 下页 返回 结束 已知平面上两定点 A( 1 , 3 ), B( 4 , 2 ), 试在椭圆 圆周上求一点 C, 使 △ABC 面积 S△最大. 解: 设 C 点坐标为 (x , y), 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例4 设拉格朗日函数 解方程组 得驻点 对应面积 而 比较可知, 点 C 与 E 重合时, 三角形 面积最大. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 的切平面, 使其在三坐标轴上的截距的平方和最小, 并求切点. 解: 设 切点为 则切平面的法向量为 即 切平面方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 问题归结为求 在条件 下的条件极值问题 . 设拉格朗日函数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 切平面在