微积分学习课件(适合基础薄弱者使用).ppt

二、集合的概念及运算 1. 集合的概念 (略) 2. 区间 (略) 3. 邻域 ?x0?R, ? 0. (1) 记U(x0, ? ) = (x0 ? ?, x0+? )={x?R||x?x0|? } 称为x0的? 邻域. 其中x0称为这个邻域的中心, ? 称为这个邻域的半径. 如图 x0?? x0+? x0 x ? 这就是从U(x0, ? ).中去掉中心点x0所余下的部分. (3) 当不必强调指出邻域和去心邻域的半径时, 将邻域和去心邻域简记为U(x0 )和 . (2) x0?? x0+? x0 x §1－2 映射 定义: 设A, B是两非空集, 若存在对应规则f, 使?x?A, 按照对应规则f, 都有唯一确定的y?B与之对应, 则称 f 是从A到B的一个映射. 记作f : A?B, x?y. x y A B f 称y为x在f 下的像, 记作f (x). 即, y = f (x), 称x为y在 f 下的原像, 习惯上也将映射记作 y=f (x). 注1. 映射是一种建立在两集合间的对应规则, 它满足A中任一元素x都能且只能对应一个y, 但不同的x可以对应同一个y, 即可以出现“ 多对一”的情形. 注2. 在定义中并不要求对每一个y?B, 都有一个x与这个y对应. 即, 有些y可能并不是某个x的像. 一、函数的概念 定义1. 设实数集X, Y 均非空. 若存在对应规则f , 使得?x?X, 按照f , 都有唯一确定的y?Y, 与之对应. 则称f是定义在X上的一元实值函数. 记作 f : X?Y, x?y §1－3 函数 X在f 下的像集f (X)={f (x)| ?x?X}称为f 的值域. 记作R(f ). 称X为函数f 的定义域. 记作D(f ). 显然有R(f )?Y. 称y为x在 f 下的像, 记作f (x). 即, y=f (x) 称x为y在 f 下的原像, 注1. 定义1可改写为“ 若f 是从实数集X到实数集Y的一个映射. 则称f 是一个一元实值函数”. 注3.本教材中用符号“ ?” 表示子集, 而不是用“?”. 因此, 本教材中不用符号严格区分子集和真子集两概念. 注2. 在定义1中, f 是函数, 它是一个映射, 是一个对应规则. 另外, 习惯上, 称x为自变量, 但在习惯上, 我们把f (x)也称作 f 下的像. 而f (x)则是函数值, 是x在 x的函数. y为因变量. 二、函数的运算 设函数f (x), g(x). 定义域分别为A=D(f ), B=D(g). 1. 两函数相等?它们的定义域相同, 并且, 对应规则相同. 2. 设A?B = D(f )?D(g)? ?. 则A?B在上可定义f 和g的和, 差, 积, 商如下. (i) (ii) (iii) (iv) (f + g)(x) = f (x) + g(x) ?x? A?B (f – g)(x) = f (x) – g(x) ?x? A?B (f · g)(x) = f (x) · g(x) ?x? A?B 3. 复合函数 设y=f (u). 即, y是u的函数, 而u是x的函数u=?(x). 而函数式则可通过代入运算而得到: 一般说来, 这时, y通过中间变量u而 成为x的函数. 将u=?(x)代入到y =f (u)中. 得到y=f [?(x)]. 称它为由f (u)和?(x)构成的复合函数. 例1. 设y=f (u)=lgu, 而u=?(x)=sinx. 则它们构成的复合函数为 y=f [?(x)] = lgsinx. 例2. 设y=f (u)=lg(u–2), 而u=?(x)=sinx. 代入后 y=lg(sinx –2). 因定义域为空集, 所以它们不 能构成复合函数. 定义2.若y=f (u)的定义域U. 而u=?(x)的定义域为X, 值域为U*. 且U ? U*? ?. 则 y 通过 称它为由f (u)和 中间变量u成为x的函数, ?(x)构成的复合函数. 记作y=f [?(x)]. 注1: 复合函数f [?(x)]的定义域X?包含在u=?(x)的定义域X之中. 即, X?? X (如例1) 注2: 本教材也把复合函数记作 (f 。g)(x), 即 (f 。g)(x) = f [?(x)]