微积分A2(第六章第5、6节).ppt

在yoz坐标面上，L的方程为： 即 现绕 z 轴旋转， 则所得旋转面（即圆锥面） 即 其中 方程为： x 0 y 旋转双叶双曲面 绕 x 轴一周 x 0 z y 旋转双叶双曲面 绕 x 轴一周 x 0 z y 旋转双叶双曲面 绕 x 轴一周 a x y o 旋转单叶双曲面 上题双曲线 绕 y 轴一周 a x y o z 上题双曲线 绕 y 轴一周 旋转单叶双曲面 a x y o z 旋转单叶双曲面 上题双曲线 绕 y 轴一周 y o z 旋转抛物面 抛物线 绕 z 轴一周 y o x z 抛物线 绕 z 轴一周 旋转抛物面 y . o x z 生活中见过这个曲面吗？ 旋转抛物面 抛物线 绕 z 轴一周 得旋转抛物面 卫星接收装置 例：直线 绕 y 轴旋转而得旋 转曲面方程。 解： 曲面上一点 M(x, y, z) 必是直线上某一点 M0(x0, y0, z0) 绕 y 轴旋转而得， 因为点 (x0, y0, z0) 在直线上， 即为所求旋转曲面方程。 旋转单叶双曲面 四、 二次曲面 与平面解析几何中规定的二次 曲线相类似，我们把三元二次方程 F (x, y, z ) = 0 所表示的曲面称为二 次曲面。 截痕法 用z = h截曲面 用y = m截曲面 用x = n截曲面 a b c y x z o 椭球面 x z y 0 用z = a截曲面 用y = b截曲面 用x = c截曲面 椭圆抛物面 x z y 0 椭圆抛物面 用z = a截曲面 用y = b截曲面 用x = c截曲面 用z = a截曲面 用y = 0截曲面 用x = b截曲面 x z y 0 （马鞍面） 双曲抛物面 双曲抛物面 （马鞍面） x z y 0 用z = a截曲面 用y = 0截曲面 用x = b截曲面 双曲抛物面 （马鞍面） x z y 0 用z = a截曲面 用y = 0截曲面 用x = b截曲面 椭圆锥面 ——旋转单叶双曲面 ——单叶双曲面 ——旋转双叶双曲面 ——双叶双曲面 负号单为单叶， 负号双为双叶。 课 外 作 业 习题 6 — 5(A) 2, 3(单), 4(1, 4) 习题 6 — 5(B) 1, 3 §6. 空间曲线及其方程 一、空间曲线的一般方程 空间曲线 C 可看成两张空间曲面的交线： x y z 0 C (1) 曲线上的点必须同时 满足两个方程, (1) 称为空间曲线 C 的一般方程。 即满足方程组 (1), 1 y x z o 1 y x z o L * 柱面都是直纹面，而且都是可展曲面 * * * * P411 * P411 * P411 * P411 §5. 曲面方程 一、曲面方程 给定三元方程 F (x, y, z) = 0 及曲面 S 。 x y z S 如曲面S上任一点的坐标 都满足 F (x, y, z) = 0， 不在曲面S上的点的坐标 都不满足 F (x, y, z) = 0， 则 F (x, y, z) = 0 为曲面 S 的方程， 曲面 S 是 F (x, y, z) = 0 的图形。 F (x, y, z) = 0 空间解析几何主要研究两类问题： 给定图形，即给定空间点的几何轨迹， 求方程； 2. 给定方程，研究该方程的图形。 二、常见的曲面方程 1 . 球面 建立球心在点 M0(x0, y0, z0), 半径为 R 的球面方程。 x y z 设M(x, y, z)为球面上任一点， R = R 即 —— 球面方程 若 x0 = y0 = z0 = 0， 球面方程： . M0 . M 例 解: 求内切于平面 x + y + z = 1 与三个坐标面 则它位于第一卦限, 因此所求球面方程为 从而 设球心为 且 所构成四面体的球面方程. 例： 表示怎样的曲面？ 解： = 16 = 42 表示球心在点 (1, - 2, 2) , 半径为 4 的球面方程。 2 . 柱面 平行于一条定直线，并沿定曲线 C 移 x y z L C 曲线 C 称为柱面的准线， 动直线 L 称为柱面的母线。 动的直线 L 形成的轨迹，称为柱面。 例1： 表示怎样的曲面？ x y z 在平面直角坐标系中， 即 xoy 平面上表示一个圆。 而在空间直角坐标系中，方程 中不含 z , 则凡是通过 xoy 平面 上的这个圆的点且与 z 轴平行 的直线都在这曲面上。 所以这曲面可看作是由平行于 z 轴的直线 沿 xoy 平面上的圆 移动而成， 圆柱面。 其母线 // z 轴， 准线为 xoy 平面上的圆。 称为 x y z 其母线 // z 轴 准线为 xoy 平面上的圆。 x y z 其母线 // x 轴 准