2012届高三理科数学一轮总复习第三章_导数及其应用(学生).doc

第三章　导数及其应用 3.1　导数的概念与运算 典例精析 题型一　导数的概念 【例1】 已知函数f(x)＝2ln 3x＋8x，求的值. 【变式训练1】某市在一次降雨过程中，降雨量y(mm)与时间t(min)的函数关系可以近似地表示为f(t)＝，则在时刻t＝10 min的降雨强度为(　　) A. mm/min B. mm/min C. mm/min D.1 mm/min 题型二　求导函数 【例2】 求下列函数的导数. (1)y＝ln(x＋)； (2)y＝(x2－2x＋3)e2x； (3)y＝. 【变式训练2】如下图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A、B、C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f(f(0))＝　　　　　　；＝　　　　　　(用数字作答). 题型三　利用导数求切线的斜率 【例3】 已知曲线C：y＝x3－3x2＋2x， 直线l：y＝kx，且l与C切于点P(x0，y0) (x0≠0)，求直线l的方程及切点坐标. 【变式训练3】若函数y＝x3－3x＋4的切线经过点(－2，2)，求此切线方程. 题型一　求函数f(x)的单调区间 【例1】已知函数f(x)＝x2－ax－aln(x－1)(aR)，求函数f(x)的单调区间. 【变式训练1】已知函数f(x)＝x2＋ln x－ax在(0,1)上是增函数，求a的取值范围. 题型二　求函数的极值 【例2】已知f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1时取得极值，且f(1)＝－1. (1)试求常数a，b，c的值； (2)试判断x＝±1是函数的极小值点还是极大值点，并说明理由. 【变式训练2】定义在R上的函数y＝f(x)，满足f(3－x)＝f(x)，(x－)f′(x)＜0，若x1＜x2，且x1＋x2＞3，则有(　　) A. f(x1)＜f(x2)B. f(x1)＞f(x2) C. f(x1)＝f(x2)D.不确定 题型三　求函数的最值 【例3】 求函数f(x)＝ln(1＋x)－x2在区间[0,2]上的最大值和最小值. 【变式训练3】(2008江苏)f(x)＝ax3－3x＋1对x[－1,1]总有f(x)≥0成立，则a＝　　　. 题型一　利用导数证明不等式 【例1】已知函数f(x)＝x2＋ln x. (1)求函数f(x)在区间[1，e]上的值域； (2)求证：x＞1时，f(x)＜x3. 【变式训练1】已知对任意实数x，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且x＞0时，f′(x)＞0，g′(x)＞0，则x＜0时(　　) A.f′(x)＞0，g′(x)＞0B.f′(x)＞0，g′(x)＜0 C.f′(x)＜0，g′(x)＞0D.f′(x)＜0，g′(x)＜0 题型二　优化问题 【例2】某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两个桥墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩.经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋)x万元.假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素.记余下工程的费用为y万元. (1)试写出y关于x的函数关系式； (2)当m＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？ 故需新建9个桥墩才能使y最小. 【变式训练2】(2010上海)如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝，骨架把圆柱底面8等份，再用S平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面(不安装上底面).当圆柱底面半径r取何值时，S取得最大值？并求出该最大值(结果精确到0.01平方米). 题型三　导数与函数零点问题 【例3】 设函数f(x)＝x3－mx2＋(m2－4)x，xR. (1)当m＝3时，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程； (2)已知函数f(x)有三个互不相同的零点0，α，β，且α＜β.若对任意的x[α，β]，都有f(x)≥f(1)恒成立，求实数m的取值范围. 【变式训练3】已知f(x)＝ax2(aR)，g(x)＝2ln x. (1)讨论函数F(x)＝f(x)－g(x)的单调性； (2)若方程f(x)＝g(x)在区间[，e]上有两个不等解，求a的取值范围. 题型一　求常见函数的定积分 【例1】 计算下列定积分的值. (1)(x－1)5dx； (2) (x＋sin x)dx. 【变式训练1】求(3x3＋4sin x)dx. 题型二　利用定积分计算曲边梯形的面积 【例2】求抛物线y2＝2x与直线y＝4－x所围成的平面图形的面积. 【变式训练2】设k是一个正整数，(1＋)k的展开式中x3的系数为，则函数y＝x2与y＝kx－3的图象所围成的阴影部分(如图)的面积为　　　　. 题型三　定积分在物理中的应用 【例3】 (1) 变速直线运动的物体的速度为v(t)