微积分A1(第五章第1、2节).ppt

性质5. (1) 若在[a, b]上, f (x)≥0 , 则 推论1 若在 [a, b] 上, f (x) ≤ g(x), 则 ≤ ≥ 0 ，( a b ). 推论2 ( a b ). ( a b ). 若 f (x) 在 [a, b] 上连续， f (x)≥0 且不恒等 0 ，( a b ). 于零，则 性质6.（估值定理） 性质7.（定积分中值定理） 若 f (x) 在 [a, b] 上连续，则在 [a, b] 上至少 这一公式又称为积分中值公式 ( a b ). 存在一点ξ ，使得下式成立： 证： 由性质6: ∵ f (x) 在 [a, b] 上连续， 说明数值 介于最小值 m ∴由介值定理， 至少存在一点 和最大值 M 之间. 实际上积分中值公式对任意有限值 a, b 都成立。 定积分中值定理的几何解释： f (x) 在 [a, b] 上连续，就有 y x a b 0 y x a b 0 在 [a, b] 上总存在一点ξ ，使得曲边梯形的面积等于同一底边，高为 f (ξ) 的一个矩形的面积。 考虑连续函数 y = f (x) 在[a, b]上取的一切值的平均值。 设分点 分 [a, b] 为 n 等分， 分点处的函数值依次记为 x1 xn-1 y0 y1 yn 可近似表达 f (x) 在[a, b]上所取一切值 当把 [a, b]无限 的平均值， 细分， y x a b yn-1 即为 f (x) 在 [a, b] 上所取的一切值的平均值。 ∵等分， 即为 f (x) 在 [a, b] 上所取的一切值的平均值。 (定积分中值公式) 定积分中值定理的更一般的形式： 若 f (x) 在 [a, b] 上连续， g(x) 在 [a, b] 上 非负（或非正）、可积，则在 [a, b] 上至少存 在一点ξ ，使得下式成立： 例 题 例1: 根据定积分的性质，比较下列定积分的大小： 解： 在 [0, 1] 上， ∴由性质5， (1) (2) 解： 令 则 所以在 [0, 1] 上，f (x) 单调增加， 当 x 0 时，有 f (x) f (0) = 0 例2. 估计 的取值范围。 解： 由性质6， 所以在 [0, 2] 上， f (x)的最大值为 最小值为 例3. 利用定积分中值定理，计算 解： = 0 例4. 设 在 上是单调递减的连续函数， 都有不等式 证明： 时结论成立. (用积分中值定理) 当 时, 故所给不等式成立. 试证明对于任何 显然 课 外 作 业 习题 5 — 1(A) 1(2), 4(2, 4), 5(1, 3) 习题 5 — 1(B) 1(2, 4), 2 §2. 微积分学基本定理 一、定积分与原函数的关系 特例： 设时刻 t 时质点的速度为 v(t) ≥ 0 , [ T1, T2 ] 所经过的路程 则质点在时间间隔 若又已知位置函数 s = s(t) , 则[ T1, T2 ]上 所经过的路程又可表为 ∴s(t) 是 v(t) 的原函数。 说明了 v(t) 在 [ T1, T2 ] 上的定积分等于 一般： 若 F(x) 是连续函数 f (x) 在[a,b]上的原函 为证明这一点，现引进一种变上限的定积分。 v(t) 的原函数 s(t) 在 [ T1, T2 ] 上的增量。 数，则有 二、积分上限的函数及其导数 设 f (x) 在 [a, b] 上连续， 并设 x 为 [a, b] 上一点， 则 f (t) 在 [a, x] 上连续， x 记 称为积分上限的函数。 a b y x 0 具有如下所述的重要性质： 定理0. 设 f (x) 在 [a, b] 上可积， 则积分上限函数 在 [a, b] 上连续。 定理1. 设 f (x) 在 [a, b] 上连续， 则积分上限函数 在 [a, b] 上可导，且 (1) (2) 推广： 例 题 例1： 解： 例2: 0 例3： + 例4： f 为可导函数， 解： x 例5： 解： 原式 = = 12 . 例6： 解： 两边对 x 求导： 第五章 定积分及其应用 0 §1.定积分的概念和性质 一.几个实例 1. 曲边梯形的面积 由三条直线段，一条曲线段围成的形如 的几何形称为曲边梯形。 的几何形称为曲边三角形， 它也归于曲边梯形的范畴。 形如 为什么要研究曲边梯形？ 求任何曲线围成的几何形的面积，都可归结为求若干个曲边梯形的面积的和。 A A1 A2 An 现把问题归结如下： 设曲边梯形