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* 因此在x = 0处必连续, 由于原函数可导, 所以原函数必定连续, 于是有 不定积分的概念与性质 * 作业 习题4-1(190页) 1.(4) (10) (14 ) (18) (20) (21) (24) (26) 3. 4. 不定积分的概念与性质 * 不 定 积 分 求原来那个函数的问题. 已知某曲线的切线斜率为2x, 本章研究微分运算的逆运算 已会求已知函数的导数和微分的运算. 解决相反的问题, 就是已知函数的导数或微分, 例如 某质点作直线运动,已知运动速度函数 求路程函数. 常要 求此曲线的方程. 1. 2. 不定积分. indefinite integral * 第一节 不定积分的概念与性质 原函数与不定积分的概念 基本积分公式 不定积分的性质 小结 思考题 作业 indefinite integral 第四章 不定积分 * 一、原函数与不定积分的概念 几何问题 解 例 设曲线方程上任一点的切线斜率都等于切点 处横坐标的两倍, 求曲线的方程. 设曲线方程为 满足此条件的函数有无穷多个, 如 等都是. 一般, 所求曲线方程为 C为任意常数. 不定积分的概念与性质 * 定义1 例 1. 原函数 如果在区间I上, 则称 或 原函数. 一个 或由 知 是 原函数. 也是 的原函数, 其中 为任意常数. 不定积分的概念与性质 * 一般, 的原函数 (C为任意常数). 因 一个函数如果有原函数, 就有无穷多个. 在区间I上的一个 在区间I上的任一原函数都 其中C为某一常数. 则 定理 定理表明: 的一整族函数 形如 是f(x)的全部原函数. 原函数, 结 论 的形式, 不定积分的概念与性质 可表为 * 故 证 的另一个原函数, 则 又 只要找到f (x)的一个原函数, 就知道 它的全部原函数. 在区间I上的一个原函数, 则f(x)在区间I上的任一原函数都可表为 其中C为某一常数. 定理 的形式, 要证 常数 因为 不定积分的概念与性质 导数恒为零的函数必为常数 某个常数 * 积分变量 积分常数 被积函数 定义2 被积表达式 2. 不定积分 不定积分. (1) 定义 全部原函数的一般表达式 称为函数f (x)的 总和(summa) 记为 不定积分的概念与性质 积分号 * 1. 被积函数是原函数的导数, 被积表达式是 原函数的微分. 2. 不定积分表示那些导数等于被积函数的所 或说其微分等于被积表达式的所 有函数. 有函数. 因此绝不能漏写积分常数C. 3. 求已知函数的原函数或不定积分的运算称 为积分运算, 它是微分运算的逆运算. 不定积分的概念与性质 * 例 求 解 解 例 不定积分的概念与性质 * (2)不定积分的几何意义 积分曲线 称为 的积分曲线. 的图形 向平行于y 轴的方向任意 上下移动, 得出的无穷多条曲线, 称为 的图形是 平面的一条曲线, 是将曲线 族. 不定积分的概念与性质 * 由于不论常数C 取何值, 同一x处其导数等于f(x), 各切线相互平行. 有积分曲线族 即 x 不定积分的概念与性质 * 不定积分的概念与性质 解 故所求曲线方程为 (3) 积分常数的确定 求通过点 且其切线斜率为2x曲线. 例 在求原函数的实际问题中,有时要从全部原函数中确定出所需要的具有某特性的一个原函数,这时应根据这个特性确定常数C的值,从而找出需要的原函数. 的曲线族为 有 * 解 例 所以 不定积分的概念与性质 * （原函数存在定理） 连续函数一定有原函数. 则它必有原函数. (4) 原函数存在问题 定理2 哪些函数有原函数 又如何求其原函数 不定积分的概念与性质 原函数是否必为连续函数 * 由不定积分的定义 结论 微分运算与求不定积分的运算是 如 (1) 或 或 互逆的. 二、不定积分的性质 不定积分的概念与性质 * 证 等式成立. （此性质可推广到有限多个函数之和的情况） (2) (2)，(3)称为线性性质. 思考: k = 0,等式是否成立? (3) 不定积分的概念与性质 * 实例 启示 能否根据求导公式得出积分公式 结论 要判断一个不定积分公式是否正确,只要将右端的函数求导,看是否等于被积函数. 求导公式 积分公式. 三、基本积分公式 不定积分的概念与性质 积分运算和微分运算是互逆的， * 基本积分公式 (k是常数) 说明： 简写为 不定积分的概念与性质 * 不定积分的概念与性质 * 熟 记 不定积分的概念与性质 * 例 求积分 解 出一些简单函数的不定积分, 称为 利用不定积分的性质和基本积分公式, 可求 由公式 直接积分法. 不定积分的概念与性质 * 例 求积分 解 不