2011-广东-数学(理科).docx

2011年普通高等学校招生全国统一考试【广东卷】（理科数学）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页．全卷满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：（每小题5分，共60分）1．设复数满足，其中为虚数单位，则 ( )． A． B． C． D．【答案】B．【解析】依题意得，故选．2．已知集合为实数,且,为实数,且,则的元素个数为( )． A．0B．1 C．2 D．3【答案】C．【解析】题意等价于求直线与圆的交点个数,画大致图像可得答案．3．若向量，，满足∥且⊥，则( )． A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D．【解析】因为∥且⊥,所以⊥，从而．4．设函数和分别是实数集上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( )． A．是偶函数B．是奇函数 C．是偶函数 D．是奇函数【答案】A．【解析】依题意,故,从而是偶函数，故选A．5．已知平面直角坐标系上的区域由不等式组给定．若为上的动点，点的坐标为，则的最大值为 ( )． A． B． C． D．【答案】C．【解析】目标函数即,画出可行域如图所示，代入端点比较之，易得当时取得最大值,故选C．6．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( )． A． B． C．D．【答案】D．【解析】设甲队获得冠军为事件,则包含两种情况:(1)第一局胜;(2)第一局负但第二局胜;故所求概率,从而选D．7．如图，某几何体的正视图（主视图）是平行四边形，侧视图（左视图）和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为( )． A．B．C．D．【答案】B．【解析】该几何体是以正视图所在的平行四边形为底面，高为的四棱柱，又平行四边形的底边长为,高为,所以面积,从而所求几何体的体积,故选B．8．设是整数集的非空子集，如果，有，则称关于数的乘法是封闭的．若是的两个不相交的非空子集,,且,有；,有,则下列结论恒成立的是 ( )． A．中至少有一个关于乘法是封闭的B．中至多有一个关于乘法是封闭的C．中有且只有一个关于乘法是封闭的D．中每一个关于乘法都是封闭的【答案】A．【解析】因为,故必有或,不妨设,则令,依题意对,有,从而关于乘法是封闭的;(其实到此已经可以选A了,但为了严谨,我们往下证明可以有一个不封闭以及可以两个都封闭),取,则为所有负整数组成的集合,显然封闭,但显然是不封闭的,如;同理,若奇数，偶数，显然两者都封闭，从而选A．二、填空题：本大题共7小题．考生作答6小题．每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）9．不等式的解集是．【答案】．【解析】解法一:原不等式或或，解得,从而原不等式的解集为.解法二(首选):的几何意义为到点的距离与到点的距离的差,画出数轴易得.解法三:不等式即,平方得,解得.．10．的展开式中的系数是（用数字作答）．【答案】 84．【解析】题意等价于求的展开式中的系数,,令得,故所求系数为．11．等差数列的前9项和等于前4项和，若，则．【答案】 10．【解析】由得,,故．12．函数在处取得极小值．【答案】 2．【解析】,当或时，；当时，，故当时，取得极小值．13 ．某数学老师身高176cm，他爷爷，父亲，儿子的身高分别是173cm,170cm和182cm，因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高是 cm．【答案】185．【解析】抓住“儿子的身高与父亲的身高有关”提炼数据易得平均值,于是，，从而，,，所以线性回归方程为，当时，．第Ⅱ卷（非选择题共90分）（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）二、填空题：（每小题5分，共25分）14．（坐标系与参数方程选做题）已知两曲线参数方程分别为（0≤? ＜???和（t∈R），它们的交点坐标为．【答案】．【解析】对应普通方程为,,联立方程消去得,解得或(舍去),于是,,故所求交点坐标为．15．（几何证明选讲选做题）如图4，过圆外一点分别做圆的切线和割线交圆于，两点，且，是圆上一点使得，，则．【答案】．【解析】结合弦切角定理易得,于是, 代入数据解得．三、解答题：（本大题共6小题，共80分）16．（本小题满分12分）已知函数．(Ⅰ)求的值；(Ⅱ)设，，，求的值．【解析】．(Ⅰ)；(Ⅱ)因为，所以，因为所以，又所以，，所以．17．（本小题满分13分）为了解甲，乙两厂的产品质量，采取分层