103 二项式定理练习题.doc

§10.3 二项式定理 一、选择题 1．二项式6的展开式中的常数项是(　　) A．20　　　　　　　　　B．－20 C．160 D．－160 解析 二项式(2x－)6的展开式的通项是Tr＋1＝C·(2x)6－r·r＝C·26－r·(－1)r·x6－2r.令6－2r＝0，得r＝3，因此二项式(2x－)6的展开式中的常数项是C·26－3·(－1)3＝－160. 答案 D 2．若二项式n的展开式中第5项是常数项，则正整数n的值可能为(　　)． A．6 B．10 C．12 D．15 解析　Tr＋1＝C()n－rr＝(－2)rCx，当r＝4时，＝0，又nN*，n＝12. 答案　C .(1－t)3dt的展开式中x的系数是(　　) A．－1 B．1 C．－4 D．4 解析 (1－t)3dt＝＝－＋，故这个展开式中x的系数是－＝1. 答案　4．已知8展开式中常数项为1 120，其中实数a是常数，则展开式中各项系数的和是(　　)． A．28 B．38 C．1或38 D．1或28 解析　由题意知C·(－a)4＝1 120，解得a＝±2，令x＝1，得展开式各项系数和为(1－a)8＝1或38. 答案　C 5．设n的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M－N＝240，则展开式中x的系数为(　　)． A．－150 B．150 C．300 D．－300 解析　由已知条件4n－2n＝240，解得n＝4， Tr＋1＝C(5x)4－rr＝(－1)r54－rCx4－， 令4－＝1，得r＝2，T3＝150x. 答案　B 6.2n展开式的第6项系数最大，则其常数项为(　　) A．120 B．252 C．210 D．45 解析 根据二项式系数的性质，得2n＝10，故二项式2n的展开式的通项公式是Tr＋1＝C()10－r·r＝Cx5－－，根据题意5－－＝0，解得r＝6，故所求的常数项等于C＝C＝210.正确选项为C. 答案　．在(x－)2 006的二项展开式中，含x的奇次幂的项之和为S，当x＝时，S等于(　　)． A．23 008 B．－23 008 C．23 009 D．－23 009 解析　(x－)2 006＝x2 006＋Cx2 005(－)＋Cx2 004(－)2＋…＋(－)2 006，由已知条件S＝－C()2 006－C()2 006－…－C()2 006＝－22 005·21 003＝－23 008. 答案　B 二、填空题 ．(1＋x)3(1＋)3的展开式中的系数是________． 解析 利用二项式定理得(1＋x)33的展开式的各项为Cxr·Cx－n＝CCxr－n，令r－n＝－1，故可得展开式中含项的是＋＋＝， 即(1＋x)33的展开式中的系数是15. 答案 15 9． 设x6＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋a3(x－1)3＋a4(x－1)4＋a5(x－1)5＋a6(x－1)6，则a3＝________.解析 x6＝[1＋(x－1)]6，故a3＝C＝20. 20 10．若(1＋x＋x2)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a12x12，则a2＋a4＋…＋a12＝________. 解析　令x＝1，则a0＋a1＋a2＋…＋a12＝36，令x＝－1，则a0－a1＋a2－…＋a12＝1， a0＋a2＋a4＋…＋a12＝. 令x＝0，则a0＝1，a2＋a4＋…＋a12＝－1＝364. 答案　364 ．已知(1＋x＋x2)n的展开式中没有常数项，nN*且2≤n≤8，则n＝________. 解析　n展开式中的通项为 Tr＋1＝Cxn－rr ＝Cxn－4r(r＝0,1,2，…，8)， 将n＝2,3,4,5,6,7,8逐个检验可知 n＝5. 答案　n＝5 ．若(cosφ＋x)5的展开式中x3的系数为2，则sin＝________. 解析 由二项式定理得，x3的系数为Ccos2φ＝2，cos2φ＝，故sin＝cos2φ＝2cos2φ－1＝－. －　三、解答题 ．若n的展开式中各项系数和为1 024，试确定展开式中含x的整数次幂的项． 令x＝1，则22n＝1 024，n＝5. Tr＋1＝C(3x)5－rr＝C·35－r·，含x的整数次幂即使为整数，r＝0、r＝2、r＝4，有3项， 即 T1＝243x5，T3＝270x2， T5＝15x－1. ．在杨辉三角形中，每一行除首末两个数之外，其余每个数都等于它肩上的两数之和． (1)试用组合数表示这个一般规律： (2)在数表中试求第n行(含第n行)之前所有数之和； (3)试探究在杨辉三角形的某一行能否出现三个连续的数，使它们的比是34∶5，并证明你的结论． 第0行　　　　　　　1 第1行　　　　　　 1　1 第2行　　　　　　1　2　1 第3行　　　　　1　3　3　1 第4行