101 分类加法计数原理与分步乘法计数原理练习题.doc

§10.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 一、选择题 1．如图，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C，D中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有(　　) A B C D A．72种 B．48种 C．24种 D．12种 解析 先分两类：一是四种颜色都用，这时A有4种涂法，B有3种涂法，C有2种涂法， D有1种涂法，共有4×3×2×1＝24种涂法；二是用三种颜色，这时A，B，C的涂法有4×3×2＝24种，D只要不与C同色即可，故D有2种涂法．故不同的涂法共有24＋24×2＝72种． 答案 A 2．如图，用6种不同的颜色把图中A、B、C、D四块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有(　　)． A．400种 B．460种 C．480种 D．496种 解析　从A开始，有6种方法，B有5种，C有4种，D、A同色1种，D、A不同色3种，不同涂法有6×5×4×(1＋3)＝480(种)，故选C. 答案　C 甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有(　 　)． A．6种 B．12种 C．24种 D．30种 所选的课程中恰有1门相同的选法有×3×2=24（种），故选C 答案 C 4．有4位教师在同一年级的4个班中各教一个班的数学，在数学检测时要求每位教师不能在本班监考，则监考的方法有(　　) A．8种 B．9种 C．10种 D．11种 解析 分四步完成，共有3×3×1×1＝9种． 答案 B 5．如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”．在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是(　　)． A．60 B．48 C．36 D．24 解析　长方体的6个表面构成的“平行线面组”有6×6＝36个，另含4个顶点的6个面(非表面)构成的“平行线面组”有6×2＝12个，共36＋12＝48个，故选B. 答案　B ．高三年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参加社会实践，但去何工厂可自由选择，甲工厂必须有班级要去，则不同的分配方案有(　　)． A．16种 B．18种 C．37种 D．48种 解析　三个班去四个工厂不同的分配方案共43种，甲工厂没有班级去的分配方案共33种，因此满足条件的不同的分配方案共有43－33＝37(种)． 答案　C ．4位同学从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法有(　　)． A．12种 B．24种 C．30种 D．36种 解析　分三步，第一步先从4位同学中选2人选修课程甲．共有C种不同选法，第二步给第3位同学选课程，有2种选法．第三步给第4位同学选课程，也有2种不同选法．故共有C×2×2＝24(种)． 答案　B 二、填空题 ．将数字1,2,3,4,5,6按第一行1个数，第二行2个数，第三行3个数的形式随机排列，设Ni(i＝1,2,3)表示第i行中最大的数，则满足N1＜N2＜N3的所有排列的个数是________．(用数字作答) 解析　由已知数字6一定在第三行，第三行的排法种数为AA＝60；剩余的三个数字中最大的一定排在第二行，第二 行的排法种数为AA＝4，由分步计数原理满足条件的排列个数是240. 答案　240 .数字1,2,3，…，9这九个数字填写在如图的9个空格中，要求每一行从左到右依次增大，每列从上到下也依次增大，当数字4固定在中心位置时，则所有填写空格的方法共有________种． 4 解析　必有1、4、9在主对角线上，2、3只有两种不同的填法，对于它们的每一种填法，5只有两种填法．对于5的每一种填法，6、7、8只有3种不同的填法，由分步计数原理知共有22×3＝12种填法． 答案　12 ．将数字1,2,3,4,5,6排成一列，记第i个数为ai(i＝1,2，…，6)，若a1≠1，a3≠3，a5≠5，a1＜a3＜a5，则不同的排列方法有________种(用数字作答)． 解析 分两步：(1)先排a1，a3，a5，若a1＝2，有2种排法；若a1＝3，有2种排法；若a1＝4，有1种排法，共有5种排法；(2)再排a2，a4，a6，共有A＝6种排法，故不同的排列方法有5×6＝30种． 答案 30 ．用红、黄、蓝三种颜色之一去涂图中标号为1,2，…，9的9个小正方形，使得任意相邻(有公共边的)小正方形所涂颜色都不相同，且标号为1、5、9的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有________种. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 解析 分步求解．只要在涂好1,5,9后，涂2,3,6即可