数列求和第一讲 - 副本.docx

数列的求和1．直接法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和。（1）等差数列的求和公式：（2）等比数列的求和公式（切记：公比含字母时一定要讨论）2．公式法：3．错位相减法：4．裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。拆项公式：；5．分组求和法：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和。6．合并求和法：如求的和。7．倒序相加法、如归纳猜想法，奇偶法等例题解析分组求和法：有一类数列，它既不是等差数列，也不是等比数列.若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比数列或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.例1、求和：解：小结：这是求和的常用方法，按照一定规律将数列分成等差（比）数列或常见的数列，使问题得到顺利求解.变式1．求和：①②③求数列1，3+4，5+6+7，7+8+9+10，…前n项和总结：运用等比数列前n项和公式时，要注意公比讨论。2．错位相减法求和例2．已知数列，求前n项和。思路分析：已知数列各项是等差数列1，3，5，…2n-1与等比数列对应项积，可用错位相减法求和。当当变式：求和：点拨：①若数列是等差数列，是等比数列，则求数列的前项和时，可采用错位相减法；②当等比数列公比为字母时，应对字母是否为1进行讨论；③当将与相减合并同类项时，注意错位及未合并项的正负号。3.裂项相消法求和例3.求和思路分析:分式求和可用裂项相消法求和.解: 变式2：数列满足=8，（）①求数列的通项公式；则所以，=8＋（－1）×（－2）＝―10－2②对一切恒成立。故的最大整数值为5。点拨：①若数列的通项能转化为的形式，常采用裂项相消法求和。②使用裂项消法求和时，要注意正负项相消时，消去了哪些项，保留了哪些项。4．其它求和方法还可用归纳猜想法，奇偶法等方法求和。例4．已知数列。思路分析：，通过分组，对n分奇偶讨论求和。解：，若变式：已知成等差数列，n为正偶数，又，试比较与3的大小。其他题型1．设等差数列的前项和为，已知①求出公差的范围，②指出中哪一个值最大，并说明理由。解：①②2．已知数列中，前和①求证：数列是等差数列②求数列的通项公式③设数列的前项和为，是否存在实数，使得对一切正整数都成立？若存在，求的最小值，若不存在，试说明理由。解：①∵∴数列为等差数列。②③要使得对一切正整数恒成立，只要≥，所以存在实数使得对一切正整数都成立，的最小值为。巩固练习巩固练习：1．求下列数列的前项和：（1）5，55，555，5555，…，，…；（2）；（3）；（4）；（5）；2．已知数列的通项，求其前项和．解：奇数项组成以为首项，公差为12的等差数列，偶数项组成以为首项，公比为4的等当为奇数时，奇数项有项，偶数项有项，∴，当为偶数时，奇数项和偶数项分别有项，∴，所以，．