病毒扩散与传播的控制.doc

病毒扩散与传播的控制模型  问题重述 已知某种不完全确知的具有传染性病毒的潜伏期为d1~d2天，病患者的治愈时间为d3天。该病毒可通过直接接触、口腔飞沫进行传播、扩散，该人群的人均每天接触人数为r。为了控制病毒的扩散与传播将该人群分为五类：确诊患者、疑似患者、治愈者、死亡和正常人，可控制参数是隔离措施强度p（潜伏期内的患者被隔离的百分数）。 要求 1在合理的假设下试建立该病毒扩散与传播的控制模型； 2 利用你所建立的模型针对如下数据进行模拟 条件1：d1=1, d2=11, d3=30, r=10, 条件2：已经知道的初始发病人数为890、疑似患者为2000 条件3：隔离措施强度p=60% 条件4：患者2天后入院治疗，疑似患者2天后被隔离,试给出患者人数随时间变化的曲线图，并明确标识图中的一些特殊点的具体数据，分析结果的合理性。 3 若将2中的条件4改为条件：患者1.5天后入院治疗，疑似患者1.5天后被隔离,模拟结果有何变化？ 4 若仅将2中的条件3改为条件：隔离措施强度p=40%，模拟结果有何变化？ 5若仅将2中的条件1改为条件：d1=1, d2=11, d3=30, r=250，模拟结果有何变化？ 6 分析问题中的参数对计算结果的敏感性。 7 针对如上数据给政府部门写一个不超过400字的建议报告。 问题要求建立病毒扩散和传播的控制模型，为了控制病毒的扩散与传播人群分为五类： 措施强度p 模型的假设 假设人口基数保持不变，不会影响病毒的传播 处于潜伏期的病人不具备传染能力 治愈后则产生抗体，不会再被传染 符号说明 t: 时间变量，以天计算 I(t): t时刻确诊 E(t): t时刻疑似患者人数 Q(t): t时刻治愈和死亡人数 d1: 传染性病毒的潜伏期 d2: 传染性病毒的潜伏期 d3: 病患者的治愈时间 人群的人均每天接触人数 隔离措施强度 控制前阶段 分析控制前阶段Δt时间内，疫情的发展与变化。 a.正常人 潜伏期： 控制前阶段，病人尚未被隔离，所以疫情发展比较迅速，此时病人人均每天接触r个正常人，假设病人数为I，则新增潜伏期病人=I(t)*r*Δt=r*I(t)Δt。 b.潜伏期 确诊病患： 假设潜伏期的人数为E，而一般每日潜伏期病人变为确诊病患的数量呈指数增长，所以可以设为L1，用来表示这一特性。那么新增确诊病患人数=E(t)*L1*Δt=L1E(t)Δt。现在来确定常数L1，如果潜伏期天数为d1到d2，假设其变化到了一个稳定阶段，那么随着天数的增加新的潜伏期病人越来越多，其概率分布呈指数稳步增长，则每天有1-(1-1/(d2-d1))*exp(-t)概率的人变为病患，也就是说L1=1-(1-1/(d2-d1))*exp(-t)，所以新增确诊病患人数=(1-(1-1/(d2-d1))*exp(-t))E(t)Δt。 c.确诊病患 恢复、死亡： 设Q为治愈和死亡人数，如果将治愈天数设为d3，那么d3天后则病人要么死亡，要么被治愈，而被治愈的人产生抗体，不再会被传染，所以被指治愈的人和死亡的人都算作退出的人，则有退出率L2使退出的人=I(t)*L2*Δt=L2I(t)Δt。L2的求解方法与L1相同，当新增病人越来越多，则每天退出的人也将增多，即L2=(1-(1-1/d3)*exp(-t)),则退出的人=(1-(1-1/d3)*exp(-t))I(t)Δt。 根据上述a、b、c的式子可进一步得出： E(t+Δt)-E(t)= r*I(t)Δt-(1-(1-1/(d2-d1))*exp(-t))E(t)Δt I(t+Δt)-I(t)= (1-(1-1/(d2-d1))*exp(-t))E(t)Δt-(1-(1-(1/d3))^t)I(t)Δt Q(t+Δt)-Q(t)= (1-(1-(1/d3))^t)I(t)Δt 所以就有： dE/dt= r*I(t)- (1-(1-1/(d2-d1))*exp(-t))E(t) dI/dt= (1-(1-1/(d2-d1))*exp(-t))E(t)- (1-(1-1/d3)*exp(-t))I(t) dQ/dt= (1-(1-1/d3)*exp(-t))I(t) 2.控制后阶段 分析控制后阶段Δt时间内，疫情的发展与变化。 a.正常人 潜伏期： 控制后阶段，病人开始被隔离，所以疫情发展开始变慢，并受隔离措施强度P影响，此时病人人均每天接触r`个正常人，假设病人数为I，则新增潜伏期病人=I(t)*r`*Δt=r`*I(t)Δt，这时r`与p有关，且同L1、L2相同呈指数分布，所以r`=r*exp(-pt)，所以新增潜伏期病人= r*exp(-pt)*I(t)Δt。 b