概率统计教案4.doc

第四章 随机变量的数字特征 一.教学内容: 数学期望和方差的概念、性质及计算，二项分布、泊松分布、正态分布、均匀分布和指数分布的数学期望和方差，随机变量函数的数学期望，矩、协方差和相关系数. 二.教学重点: 理解数学期望和方差的概念，掌握它们的性质与计算. 掌握二项分布、泊松分布、正态分布、均匀分布和指数分布的数学期望和方差. 会计算随机变量函数的数学期望，了解矩、协方差和相关系数的概念和性质，并会计算. §4.1 数学期望 1.离散型随机变量的数学期望 . 2.连续型随机变量的数学期望 . 例1.甲、乙两人进行打靶，所得分数分别记为和，它们的分布律分别为 试评定他们成绩的好坏. 解: ， . 由于，所以甲的成绩比乙的成绩好. 例2.设随机变量的概率密度为 求的的数学期望. 解: . 3.离散型随机变量的函数的数学期望 . 4.连续型随机变量的函数的数学期望 . 例3.设随机变量的分布律为 求的数学期望. 解: . 例4.设随机变量的概率密度为 求. 解: . 5.离散型随机变量的分布律为 . (是连续函数) ，则的数学期望. 6.连续型随机变量的概率密度为， (是连续函数) ，则的数学期望. 例5.设的分布列为 求，，. 解: . . . 例6.设是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为 求，，. 解: . . 与的联合概率密度为 . 7.数学期望的性质: ①. ②. ③. ④设和是相互独立的随机变量，则. §4.2 方 差 1.随机变量的方差 . ①离散型 . ②连续型 . 2.随机变量的标准差或均方差. 3.方差的计算公式: . 例1.自动生产线在调整后每生产一件产品时出现废品的概率为，并假定在下一次出现废品之前各件产品的生产相互独立，生产过程中出现废品时立即进行调整，求两次调整之间生产的合格品数的期望和方差. 解:设两次调整之间生产的合格品数，记. 的分布律: . . . . 例2.设随机变量的概率密度为，求的期望和方差. 解: . . 4.方差的性质: ①. ②. ③ . 特别，若和相互独立，则 . ④. 5.设随机变量的期望为，方差为. 记，则 ，， 称为的标准化变量. 6.几种重要分布的期望和方差: ①分布 ，. ②二项分布. ，. ③泊松分布. ，. ④均匀分布. ，. ⑤指数分布. ，. ⑥正态分布. ，. 标准正态分布. ，. 7.切比雪夫不等式: 设随机变量X的期望为，方差为，则对于任意正数，有 ， 或 . 例3.在每次试验中，事件发生的概率都为，试验证在次独立重复试验中事件发生的次数在至之间的概率不少于. 解:设在次独立重复试验中事件发生的次数为，则. ， . 根据切比雪夫不等式，得 . §4.3 协方差及相关系数 1.随机变量和的协方差 . 2.随机变量和的相关系数 . 3.由协方差的定义得 ①. ②. ③ . 4.协方差的计算公式 . 5.协方差的性质 ①. ② . 6.相关系数的性质: ①. ②的充分必要条件是与以概率存在线性关系. 7.当时，称与不相关. 8.和不相关与和相互独立的关系: ①若和相互独立，则和不相关. ②若和不相关，和却不一定相互独立. 9.若服从二维正态分布时，和不相关与和相互独立等价. §4.4 矩、协方差矩阵 1.随机变量的阶原点矩 ，. 2.随机变量的阶中心矩 ， . 习 题 课 已知随机变量的分布律: 且，试验证与是不相关的，但与是不独立的. 解: ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 所以与是不相关. 由于 ， ， ， 所以与是不独立的. 2.. 由于 ， ， 所以 ，， . 由于，所以 ， 即，故与相互独立，从而与、与、与也相互独立. ， ， ， ， 因此与相互独立. 3.若事件在第次试验中出现的概率为，设是事件在次独立试验中的出现次数，试求及. 解:设 则 ，，，