抛物线常用性质总结.doc

结论一：若AB是抛物线的焦点弦（过焦点的弦），且，，则：，。 结论二：已知直线AB是过抛物线焦点F，求证： 。 结论三：（1）若AB是抛物线的焦点弦，且直线AB的倾斜角为α，则（α≠0）。（2）焦点弦中通径（过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦）最短。 结论四：两个相切：（1）以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切。 （2）过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线，以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切。 证明结论二： 例：已知直线AB是过抛物线焦点F，求证：为定值。 证明：设，，由抛物线的定义知：，，又+=，所以+=-p，且由结论一知：。 则： =（常数 证明：结论四： 已知AB是抛物线的过焦点F的弦，求证：（1）以AB为直径的圆与抛物线的准线相切。 (2)分别过A、B做准线的垂线，垂足为M、N，求证：以MN为直径的圆与直线AB,过A、、B向准线作垂线， 垂足分别为M、P、N，连结AP、BP。 ，， ∴， ∴以AB为直径为圆与准线l相切 （2）作图如（1），取MN中点P，连结PF、MF、NF，，AM∥OF，∴∠AMF=∠AFM，∠AMF=∠MFO， ∴∠AFM=∠MFO。同理，∠BFN=∠NFO， ∴∠MFN=（∠AFM+∠MFO+∠BFN+∠NFO）=90°， ∴， ∴∠PFM=∠FMP ∴∠AFP=∠AFM+∠PFM=∠FMA+∠FMP=∠PMA=90°，∴FP⊥AB B A M N Q P y x O F O A M N P y x F B