2010年全国初中数学竞赛番禺区预选赛加试试题及评分参考.doc

2010年全国初中数学竞赛番禺区预选赛加试试题 说明:1本卷满分为80分，考试时间60分钟,与全国卷选择题120合并后满分200分; 2. 全国卷有两处印刷错误, 请注意更正. 第13题第2行改为, 第26题第2行应改为. 学校_________ 班级______ 姓名________ 准考考号______ 分数_________. 1．（本题满分15分） 如图1，已知的面积为4，且AB=AC，现将沿CA方向 平移CA长度得到. (1)判断AF与BE的位置关系,并说明理由; (2)若=，求AC的长. 1. 解(1) AFBE. ………………………………………………………… 2分 理由如下：连结BF.是由沿CA平移CA长度得到, ∴BF=AC，AB=EF，CA=AE . …………………………………………… 5分 AB=AC,∴AB =BF= FE =AE . ∴四边形ABFE是菱形, …………………………………………………… 8分 ∴AFBE. …………………………………………………………………… 9分 (2)作BMAC于点M, ∴.……………………………………………………………… 10分 ∴. ∴, ………………………………… 13分 ∴ ……………………………………………………………… 15分 2．（本题满分15分） 已知，如图，Rt△ABC中，∠ACB=90o，AB=5，两直角边AC、BC的长是关于的方程的两个实数根。 ①求的值及AC、BC的长（BCAC）； ②在线段BC的延长线上是否存在点D，使得以D、A、C为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，写出CD的长；若不存在，请说明理由. 的两个根分别是 ∴ …………………………… 2分 ∴ = ……………………………… 4分 ∵Rt△ABC中，∠ACB=90o，AB=5 ∴ ∴= ……………………………… 6分 ∴ ∴或 …………………………………………… 7分 当时，原方程的解分别为，但三角形的边长不能为0，所以舍去. ………………………………………………………8分 当时，原方程为，其解为，所以两直角边AC=3，BC=4 ∴ ，AC=3，BC=4.………10分 （2）存在 …………… 11分 如图，，…… 13分 . …………… 15分 3．（本题满分15分） 在直角坐标系xOy中，一次函数的图象与轴、轴的正半轴分别交于A，B两点，且使得△OAB的面积值等于． （1）用b表示k； （2）求△OAB面积的最小值． 解：（1）令，得； 令，得． 所以A，B两点的坐标分别为，…………………………4分 于是，△OAB的面积为．……………………………………6分 由题意，有， 解得:，． ………………………………………9分 （2）由（1）知 ……… 11分 ≥， 当且仅当时，有，即当，时，不等式中的等号成立． 所以，△OAB面积的最小值为．……………………… 15分 4．（本题满分15分） 已知: 实数x、y、z满足x+y+z=5，xy+yz+zx=3，求z的最大值. 解：∵ ，，……… 4分 ∴ x、y是关于t的一元二次方程 的两实根. ……………………………………………………………………………… 6分 ∵ ，…………………………………………… 9分 即，. ∴ ， …………………………………………………………………… 12分 当时，.故z的最大值为. ………………………………… 15分 5.（本题满分20分） 已知A1、A2、A3是抛物线上的三点，A1B1、A2B2、A3B3分别垂直于轴，垂足为B1、B2、B3，直线A2B2交线段A1A3于点C. （1）如图3-1，若A1、A2、A3三点的横坐标依次为1、2、3，求线段CA2的长； （2）如图3-2，若将抛物线改为抛物线，A1、A2、A3三点的横坐标为连续整数，其他条件不变，求线段CA2的长； （3）若将抛物线改为抛物线，A1、A2、A3三点的横坐标为连续整数，其他条件不变，请猜想线段CA2的长（用、、表示，并直接写出答案）. 5．解（1）方法一：∵A1、A2、A3三点的横坐标依次为1、2、3， ∴A1B1=，A2B2=，A3B3=.…………………3分 设直线A1A3的解析式为y=kx+b.（4分） ∴ 解得……6分 ∴直线A1A3的解析式为 . ………………………………………… 7分 ∴CB2=2×.（8分） ∴CA2=CB2-A2B2=. ………………… 9分 方法二：∵A1、A2、A3三点的横坐标依次为1、2、3， ∴A1B