不等式与等差数列综合.docx

1已知数列是各项均不为的等差数列，公差为，为其前项和，且满足，．数列满足，为数列的前n项和．（1）求、和；（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围；（3）是否存在正整数，使得成等比数列？若存在，求出所有的值；若不存在，请说明理由．2、已知函数在上的最小值为，，是函数图像上的两点，且线段的中点P的横坐标为.?? （1）求证：点P的纵坐标是定值;?? （2）若数列的通项公式为, 求数列的前m项和；?? （3）设数列满足:，设，若（2）中的满足对任意不小于2的正整数n, 恒成立, 试求m的最大值.3 对数列，规定为数列的一阶差分数列，其中N*)．对正整数k，规定 为的k阶差分数列，其中．（Ⅰ）若数列的首项，且满足，求数列的通项公式；（Ⅱ）对（Ⅰ）中的数列，若数列是等差数列，使得??????? 对一切正整数N*都成立，求；（Ⅲ） 在（Ⅱ）的条件下，令设若成立，求最小正整数的值．4 已知数列是各项均不为的等差数列，公差为，为其前项和，且满足，．数列满足，为数列的前n项和．（1）求、和；（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围；（3）是否存在正整数，使得成等比数列？若存在，求出所有的值；若不存在，请说明理由．1、解：（1）（法一）在中，令，，得?? 即?????? ……………………………………2分解得，，??????????????????????? ………………………………………3分．，．??? ????……………………5分（法二）是等差数列， ．??????????????? …………………………2分由，得 ，???????????????????????? 又，，则．?? ????????????………………………3分(求法同法一)（2）①当为偶数时，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立．?? ????…………………………………6分?，等号在时取得．??????????? 此时 需满足．??????????????? …………………………………………7分②当为奇数时，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立．? ??????…………………………………8分?是随的增大而增大， 时取得最小值． 此时 需满足．??????????????? …………………………………………9分综合①、②可得的取值范围是．?? …………………………………………10分（3）， ?若成等比数列，则，即．…11分（法一）由，　　可得，即，?? 　　　??????????????? …………………………………12分．?????????????????? ??……………………………………13分又，且，所以，此时．因此，当且仅当， 时，数列中的成等比数列．…………14分（法二）因为，故，即，，（以下同上）．2、解：（1）当时，在上单调递减，又的最小值为，∴，得t=1 ;当时，在上单调递增，又的最小值为，∴，得t=2（舍） ;当t = 0时，（舍）， ∴t = 1, . ∵ ∴， ∴，即p点的纵坐标为定值。?? （2）由(1)可知, , 所以,即由, … ①? 得 …②由①＋②, 得∴? ?? （3） ∵, ……③? ∴对任意的. ……④3 解：（Ⅰ）由及，得?? ，∴∴??? ———————————————2分∴数列是首项为公差为的等差数列，∴．————————4分（Ⅱ）∵? ，∴ ．∵，??? ∴ ．————————————9分（Ⅲ）由（Ⅱ）得? ，? ??????①?有?? ??????????，????? ?②①-② 得 ，∴，??? ——————————10分又，∴，∴是递增数列，且，∴ 满足条件的最小正整数的值为6．————————13分4 解：（1）（法一）在中，令，，得?? 即?????? ……………………………………2分解得，，??????????????????????? ………………………………………3分．，．??? ????……………………5分（法二）是等差数列， ．??????????????? …………………………2分由，得 ，???????????????????????? 又，，则．?? ????????????………………………3分(求法同法一)（2）①当为偶数时，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立．?? ????…………………………………6分?，等号在时取得．??????????? 此时 需满足．??????????????? …………………………………………7分②当为奇数时，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立．? ??????…………………………………8分?是随的增大而增大， 时取得最小值． 此时 需满足．??????????????? …………………………………………9分综合①、②可得的取值范围是．?? ………………