2014届高考数学一轮：186双曲线.doc

一、选择题 1．与双曲线－＝1共焦点，且过点(3，2)的双曲线方程为(　　) A.－＝1　　　　　　B．－＋＝1 C．－＋＝1 D.－＝1 解析：本题考查待定系数法求双曲线方程．由题意知：c2＝16＋4＝20，设双曲线方程为－＝1，则a2＋b2＝20，且－＝1.解得a2＝12，b2＝8.所以双曲线方程为－＝1. 答案：D 2．设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为(　　) A. B. C．2 D．3 解析：设双曲线C的方程为－＝1，焦点F(－c,0)，将x＝－c代入－＝1可得y2＝，所以|AB|＝2×＝2×2a，b2＝2a2，c2＝a2＋b2＝3a2，e＝＝. 答案：B 3．过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点F作圆x2＋y2＝a2的切线FM(切点为M)，交y轴于点P.若M为线段FP的中点则双曲线的离心率是(　　) A. B. C．2 D. 解析：如图所示，在RtOPF中，OMPF，且M为PF的中点， 所以OMF也是等腰直角三角形． 所以有|OF|＝|OM|，即c＝a. 所以e＝＝. 答案：A 4．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线均和圆C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 解析：圆心的坐标是(3,0)，圆的半径是2，双曲线的渐近线方程是bx±ay＝0，根据已知得＝2，即＝2，解得b＝2，则a2＝5，故所求的双曲线方程是－＝1. 答案：A 5．已知双曲线－＝1(b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，其一条渐近线方程为y＝x，点P(，y0)在该双曲线上，则·＝(　　) A．－12 B．－2 C．0 D．4 解析：双曲线的一条渐近线方程为y＝x，＝1，即b＝，双曲线方程为－＝1，焦点F1(－2,0)，F2(2,0)，点P(，y0)在双曲线上，y＝1，·＝(－2－，－y0)·(2－，－y0)＝y－1＝0，选C. 答案：C 6．设圆锥曲线T的两个焦点分别为F1，F2.若曲线T上存在点P满足|PF1||F1F2|：|PF2|＝43：2，则曲线T的离心率等于(　　) A.或 B.或2 C.或2 D.或 解析：由题意可设：|PF1|＝4m，|F1F2|＝3m，|PF2|＝2m，当圆锥曲线是椭圆时，长轴长为2a＝|PF1|＋|PF2|＝4m＋2m＝6m，焦距为2c＝|F1F2|＝3m，所以离心率e＝＝＝＝，当圆锥曲线是双曲线时，实轴长为2a＝|PF1|－|PF2|＝4m－2m＝2m，焦距为2c＝|F1F2|＝3m，所以离心率e＝＝＝＝，故选A. 答案：A 二、填空题 7．已知点(2,3)在双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)上，C的焦距为4，则它的离心率为__________． 解析：根据点(2,3)在双曲线上，可以很容易建立一个关于a，b的等式，即－＝1，考虑到焦距为4，这也是一个关于c的等式，2c＝4，即c＝2.再由双曲线自身的一个等式a2＋b2＝c2，这样，三个方程，三个未知量，可以解出a＝1，b＝，c＝2，所以，离心率e＝2. 答案：2 8．A，B是双曲线C的两个顶点，直线l与双曲线C交于不同的两点P，Q，且与实轴所在直线垂直．若·＝0，则双曲线C的离心率e＝__________. 解析：如图所示，设双曲线方程为－＝1，取其上一点P(m，n)，则Q(m，－n)，由·＝0可得(a－m，－n)·(m＋a，－n)＝0，化简得－＝1， 又－＝1可得b＝a，因此双曲线的离心率为e＝. 答案： 9．已知F1、F2分别为双曲线C：－＝1的左、右焦点，点AC，点M的坐标为(2,0)，AM为F1AF2的平分线，则|AF2|＝__________. 解析：依题意得知，点F1(－6,0)，F2(6,0)，|F1M|＝8，|F2M|＝4.由三角形的内角平分线定理得＝＝2，|F1A|＝2|F2A|；又点A在双曲线上，因此有|F1A|－|F2A|＝2×3＝6，2|F2A|－|F2A|＝|F2A|＝6. 答案：6 三、解答题 10．已知双曲线C：－y2＝1，P为C上的任意点． (1)求证：点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数； (2)设点A的坐标为(3,0)，求|PA|的最小值． 解析：(1)证明：设P(x1，y1)是双曲线上任意一点，则x－4y＝4. 该双曲线的两条渐近线方程分别是x－2y＝0和x＋2y＝0. 点P(x1，y1)到两条渐近线的距离分别是和， 它们的乘积是·＝＝. 点P到双曲线的两条渐近线的距离的乘积是一个常数． (2)设点P的坐标为(x，y)，则 |PA|2＝(x－3)2＋y2＝(x－3)2＋－1 ＝2＋， |x|≥2