2014届高考数学一轮：123导数的应用(二).doc

一、选择题 1．函数f(x)＝＋x2－3x－4在[0,2]上最小值是(　　) A．－　　　　　　　　　B．－ C．－4 D．－ 解析：f′(x)＝x2＋2x－3，f′(x)＝0，x[0,2]只有x＝1. 比较f(0)＝－4，f(1)＝－，f(2)＝－. 可知最小值为－. 答案：A 2．已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m是常数)，在[－2,2]上有最大值3，那么在[－2,2]上的最小值为(　　) A．－37　 　　B．－29　 　　C．－5　 　　D．－11 解析：由f′(x)＝0x＝0或2.f(0)＝m，f(2)＝－8＋m，f(－2)＝－40＋m，m＝3，f(－2)＝－37. 答案：A 3．用边长为48 cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊接成铁盒，所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为(　　) A．6 B．8 C．10 D．12 解析：设小正方形边长为x，铁盒体积为y. y＝(48－2x)2·x＝4x3－192x2＋2304x. y′＝12x2－384x＋2304＝12(x－8)(x－24)． 48－2x＞0，0＜x＜24. x (0,8) 8 (8,24) y′ ＋ 0 － y 极大值8192 ∴x＝8时，ymax＝8192. 答案：B 4．(2013·潍坊期末)函数f(x)＝ex－x(e为自然对数的底数)在区间[－1,1]上的最大值是(　　) A．1＋ B．1 C．e＋1 D．e－1 解析：因为f(x)＝ex－x，所以f′(x)＝ex－1.令f′(x)＝0，得x＝0. 且当x＞0时，f′(x)＝ex－1＞0，x＜0时，f′(x)＝ex－1＜0，即函数在x＝0处取得极小值，f(0)＝1，又f(－1)＝＋1，f(1)＝e－1，综合比较得函数f(x)＝ex－1在区间[－1,1]上的最大值是e－1.故选D. 答案：D 5．函数f(x)＝ex(sinx＋cosx)在区间上的值域为(　　) A. B. C. D. 解析：f′(x)＝ex(sinx＋cosx)＋ex(cosx－sinx) ＝excosx， 0≤x≤时，f′(x)≥0，f(x)是上的增函数． f(x)的最大值为f＝e， f(x)的最小值为f(0)＝. f(x)在上的值域为. 答案：A 6．(2013·潍坊质检)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在定义域x[－2,2]上表示的曲线过原点，且在x＝±1处的切线斜率均为－1.有以下命题： f(x)是奇函数；若f(x)在[s，t]内递减，则|t－s|的最大值为4；若f(x)的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝0；若对x∈[－2,2]，k≤f′(x)恒成立，则k的最大值为2.其中正确命题的个数为(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解析：由题意得函数过原点，则c＝0.又f′(x)＝3x2＋2ax＋b. 则必有 解得 所以f(x)＝x3－4x. 令f′(x)＝3x2－4＝0得x＝±. 则函数在[－2,2]上的最小值是负数． 由此得函数图象大致如图： 得出结论是：正确；错误．故选B. 答案：B 二、填空题 7．若f(x)＝2x3－6x2＋3，对任意的x[－2,2]都有f(x)≤a，则a的取值范围为__________． 解析：由f′(x)＝6x2－12x＝0，得x＝0，或x＝2. 又f(－2)＝－37，f(0)＝3，f(2)＝－5， f(x)max＝3.又f(x)≤a，a≥3. 答案：[3，＋∞) 8．(2013·湖州调研)设函数f(x)＝ax3－3x＋1(xR)，若对于任意x[－1,1]，都有f(x)≥0成立，则实数a的值为__________． 解析：若x＝0，则不论a取何值，f(x)≥0显然成立． 当x＞0，即x(0,1]时，f(x)＝ax3－3x＋1≥0可化为a≥－. 设g(x)＝－，则g′(x)＝， 所以g(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减，因此g(x)max＝g＝4，从而a≥4. 当x＜0，即x[－1,0]时，同理，a≤－. g(x)在区间[－1,0)上单调递增， g(x)min＝g(－1)＝4，从而a≤4，综上，可知a＝4. 答案：4 9．将边长为1 m的正三角形薄铁皮沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记s＝，则s的最小值是__________． 解析：如图，设AD＝x(0＜x＜1)，则DE＝AE＝x， 梯形的周长为x＋2(1－x)＋1＝3－x. 又SADE＝x2， 梯形的面积为－x2. s＝×(0＜x＜1)． s′＝×. 令s′＝0得x＝或3(舍去)，当x时，s′＜0，s递减；当x时，s′＞0，s递增；故当x＝时，s的最小值是. 答案： 三、解答题 10．已知函数f(x)