2014届高考数学一轮：121变化率与导数、导数的计算.doc

一、选择题 1．函数f(x)＝在点(x0，f(x0))处的切线平行于x轴，则f(x0)＝(　　) A．－　B.C. D．e2 解析：与x轴平行的切线，其斜率为0，所以f ′(x0)＝＝＝0，故x0＝e，f(x0)＝. 答案：B 2．阅读下图所示的程序框图，其中f ′(x)是f(x)的导数．已知输入f(x)＝sinx，运行相应的程序，输出的结果是(　　) A．sinx B．－sinx C．cosx D．－cosx 解析：f1(x)＝(sinx)′＝cosx， f2(x)＝(cosx)′＝－sinx， f3(x)＝(－sinx)′＝－cosx， f4(x)＝(－cosx)′＝sinx， f5(x)＝(sinx)′＝cosx，它以4为周期进行变换， 故f2011(x)＝f3(x)＝－cosx. 答案：D 3．已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是(　　) A．[0，) B．[，) C．(，] D．[，π) 解析：设曲线在点P处的切线斜率为k，则k＝y′＝＝，因为ex＞0，所以由基本不等式得k≥，又k＜0，－1≤k＜0，即－1≤tanα＜0，所以≤α＜π. 答案：D 4．有一机器人的运动方程为s＝t2＋(t是时间，s是位移)，则该机器人在时刻t＝2时的瞬时速度为(　　) A. B. C. D. 解析：s(t)＝t2＋，s′(t)＝2t－，机器人在时刻t＝2时的瞬时速度为s′(2)＝4－＝. 答案：D 5．已知函数f(x)的导函数为f ′(x)，且满足f(x)＝2xf ′(1)＋x2，则f ′(1)＝(　　) A．－1 B．－2C．1 D．2 解析：f ′(x)＝2f ′(1)＋2x，令x＝1，得f ′(1)＝－2，选B. 答案：B 6．已知函数f(x)＝x2＋bx的图象在点A(1，f(1))处的切线l与直线3x－y＋2＝0平行，若数列{}的前n项和为Sn，则S2011的值为(　　) A. B. C. D. 解析：f ′(x)＝2x＋b，由f ′(1)＝2＋b＝3，得b＝1. 于是＝＝＝－， S2011＝＋＋…＋＝1－＋－＋…＋－＝1－＝. 答案：D 二、填空题 7．函数y＝sinx＋cosx在x＝π处的切线方程是________________． 解析：当x＝π时，y＝sinπ＋cosπ＝－1， 切点为(π，－1)． y′＝cosx－sinx，k＝cosπ－sinπ＝－1， 根据点斜式可得此切线的方程为：y＋1＝－1×(x－π)，即y＝－x＋π－1. 答案：y＝－x＋π－1 8．若曲线f(x)＝ax3＋lnx存在垂直于x轴的切线，则实数a的取值范围是__________． 解析：依题意得f ′(x)＝3ax2＋＝0，(x＞0)有实根， a＝－＜0. 答案：(－∞，0) 9．在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y＝x3－10x＋3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线斜率为2，则点P的坐标为__________． 解析：设P(x0，y0)(x0＜0)．由题意知y′|＝3x－10＝2， x＝4. x0＝－2(x0＝2舍去)． y0＝15. 点P的坐标为(－2,15)． 答案：(－2,15) 三、解答题 10．设有抛物线C：y＝－x2＋x－4，通过原点O作C的切线y＝kx，使切点P在第一象限． (1)求k的值； (2)过点P作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q的坐标． 解析：(1)设点P的坐标为(x1，y1)，则y1＝kx1 y1＝－x＋x1－4 ①代入得x＋x1＋4＝0. P为切点，Δ＝2－16＝0， 得k＝或k＝. 当k＝时，x1＝－2，y1＝－17. 当k＝时，x1＝2，y1＝1. P在第一象限，所求的斜率k＝. (2)由(1)得P点坐标为(2,1)， 过P点的切线的垂线为y＝－2x＋5. 由，得或(舍)． 点Q的坐标为. 11．(2013·绍兴调研)设t≠0，点P(t,0)是函数f(x)＝x3＋ax与g(x)＝bx2＋c的图象的一个公共点，两函数的图象在点P处有相同的切线．试用t表示a，b，c. 解析：因为函数f(x)，g(x)的图象都过点(t,0)， 所以f(t)＝0，即t3＋at＝0. 因为t≠0，所以a＝－t2. g(t)＝0，即bt2＋c＝0，所以c＝ab. 又因为f(x)，g(x)在点(t,0)处有相同的切线， 所以f′(t)＝g′(t)． 而f′(x)＝3x2＋a，g′(x)＝2bx，所以3t2＋a＝2bt. 将a＝－t2代入上式得b＝t. 因此c＝ab＝－t3. 故a＝－t2，b＝t，c＝－t3. 12．设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0. (1)求f(x)的解析式； (2)求曲线y＝f(x