2014届高考数学一轮：116二次函数与幂函数.doc

一、选择题 1．已知二次函数y＝x2－2ax＋1在区间(2,3)内是单调函数，则实数a的取值范围是(　　) A．a≤2或a≥3　　　　　　B．2≤a≤3 C．a≤－3或a≥－2 D．－3≤a≤－2 解析：由y＝(x－a)2＋(1－a2)在区间(2,3)内是单调函数得对称轴在区间(2,3)之外，即a≤2或a≥3，选A. 答案：A 2．(2013·黄冈质检)设y1＝0.4，y2＝0.5，y3＝0.5，则(　　) A．y3＜y2＜y1 B．y1＜y2＜y3 C．y2＜y3＜y1 D．y1＜y3＜y2 解析：幂函数y＝x是定义域上的单调递增函数，所以0.4＜0.5，指数函数y＝0.5x是定义域上的单调递减函数，所以0.5＜0.5，故y1＜y2＜y3. 答案：B 3．下图给出四个幂函数的图象，则图象与函数大致对应的是(　　) A．①y＝x，②y＝x2，③y＝x，④y＝x－1 B．①y＝x3，②y＝x2，③y＝x，④y＝x－1 C．①y＝x2，②y＝x3，③y＝x，④y＝x－1 D．①y＝x，②y＝x，③y＝x2，④y＝x－1 解析：注意到函数y＝x2≥0，且该函数是偶函数，其图象关于y轴对称，结合选项知，该函数图象应与②对应；y＝x＝的定义域、值域都是[0，＋∞)，结合选项知，该函数图象应与③对应；y＝x－1＝，结合选项知，其图象应与④对应．综上所述，选B. 答案：B 4．设b＞0，二次函数y＝ax2＋bx＋a2－1的图象为下列之一，则a的值为(　　) A．1 B．－1 C. D. 解析：∵b＞0，∴图象①②不可能， 又∵③④过原点．∴f(0)＝0，即a2－1＝0，a＝±1， 又b＞0，如 a＝1，－＜0与③④图形矛盾． ∴a＝－1. 答案：B 5．(2013·长春月考)设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，如果f(x1)＝f(x2)(x2≠x1)，则f(x1＋x2)等于(　　) A．－ B．－ C．c D. 解析：由题意可得x1＋x2＝－，所以f＝a·－b·＋c＝c. 答案：C 6．(2013·山西月考)已知f(x)＝(x－a)(x－b)－2(a＜b)，并且α，β是方程f(x)＝0的两根(α＜β)，则实数a，b，α、β的大小关系是(　　) A．α＜a＜b＜β B．a＜α＜β＜b C．a＜α＜b＜β D．α＜a＜β＜b 解析：由题意得a、b是g(x)＝(x－a)(x－b)＝0的两个根，当α，β是方程f(x)＝0的两根(α＜β)时，α、β相当于直线y＝2与y＝g(x)的交点的横坐标，由于函数g(x)＝(x－a)(x－b)的图象是开口向上的抛物线，故必在α＜a＜b＜β. 答案：A 二、填空题 7．(2013·青岛模拟)已知函数f(x)＝x，且f(2x－1)＜f(3x)，则x的取值范围是__________． 解析：f(x)＝x在[0，＋∞)上为增函数，f(2x－1)＜f(3x)，则0≤2x－1＜3x，∴x≥. 答案：x≥ 8．若(a＋1)＜(3－2a)，则a的取值范围是______________． 解析：∵函数y＝x在定义域(0，＋∞)上递减， ∴即＜a＜. 答案： 9．(2012·北京卷)已知f(x)＝m(x－2m)(x＋m＋3)，g(x)＝2x－2.若?x∈R，f(x)＜0或g(x)＜0，则m的取值范围是__________． 解析：m≥0时，不能保证对?x∈R，f(x)＜0或g(x)＜0， 当m＝－1时，f(x)＝－(x＋2)2，g(x)＝2x－2，画出图象如下图，显然成立． 当－1＜m＜0时，2m＞－(m＋3)，由题意知： 即－1＜m＜0， 当m＜－1时，－(m＋3)＞2m，则由题意知 ∴－4＜m＜－1，综上得－4＜m＜0. 答案：(－4,0) 三、解答题 10．已知函数f(x)＝x2＋2x·tanθ－1，x∈，其中θ∈. (1)当θ＝－时，求函数f(x)的最大值与最小值； (2)求θ的取值范围，使y＝f(x)在区间上是单调函数． 解析：(1)当θ＝－时， f(x)＝x2－x－1 ＝2－，x∈， ∴x＝时，f(x)的最小值为－. x＝－1时，f(x)的最大值为. (2)函数f(x)＝(x＋tanθ)2－1－tan2θ， ∵y＝f(x)在区间上是单调函数， ∴－tanθ≤－1或－tanθ≥， 即tanθ≥1或tanθ≤－. 因此，θ的取值范围是∪. 11．已知函数f(x)＝，g(x)＝. (1)证明f(x)满足f(－x)＝－f(x)，并求f(x)的单调区间； (2)分别计算f(4)－5f(2)g(2)和f(9)－5f(3)g(3)的值，由此概括出涉及函数f(x)和g(x)的对所有不等于零的实数x都成立的一个等式，并加以证明． 解析：(1)证明：f(－x)＝ ＝ ＝－f(x)， 设x1＞x2＞0，由于y＝x在R上递