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2014届高考数学一轮练之乐:154数列求和
一、选择题
1.若数列{an}的通项公式为an=2n+2n-1,则数列{an}的前n项和为( )
A.2n+n2-1 B.2n+1+n2-1
C.2n+1+n2-2 D.2n+n2-2
解析:Sn=+=2n+1-2+n2.
答案:C
2.(2013·武汉质检)已知数列{an}的通项公式是an=,其前n项和Sn=,则项数n=( )
A.13 B.10
C.9 D.6
解析:an==1-,
Sn=n-=n-1+=,
n=6.
答案:D
3.已知数列{an}的前n项和为Sn,若an=
(nN*),则S2009的值为( )
A. B.-1
C. D.-1
解析:an==-,
S2009=(-)+(-)+…+(-)=,故选C.
答案:C
4.若数列{an}的通项公式是an=(-1)n(3n-2),则a1+a2+…+a10=( )
A.15 B.12
C.-12 D.-15
解析:a1+a2+…+a10=-1+4-7+10+…+(-1)10·(3×10-2)=(-1+4)+(-7+10)+…+[(-1)9·(3×9-2)+(-1)10·(3×10-2)]=3×5=15.
答案:A
5.1+(1+2)+(1+2+22)+…+(1+2+22+…+210)的值是( )
A.211-11 B.211-13
C.212-13 D.213-11
解析:设an=1+2+22+…+2n-1,则an==2n-1,
S11=(21-1)+(22-1)+…+(211-1)
=2+22+…+211-11
=-11
=212-13.
答案:C
6.1-4+9-16+…+(-1)n+1n2=( )
A. B.-
C.(-1)n+1 D.以上答案均不对
解析:当n为偶数时,1-4+9-16+…+(-1)n+1n2=-3-7-…-(2n-1)=-=-;
当n为奇数时,1-4+9-16+…+(-1)n+1n2=-3-7-…-[2(n-1)-1]+n2=-+n2=.
综上可得,
1-4+9-16+…+(-1)n+1n2=(-1)n+1.
答案:C
二、填空题
7.在数列{an}中,a1=1,a2=2,且an+2-an=1+(-1)n
(nN*),则S100=__________.
解析:n为奇数时,an=1,n为偶数时,an=n
S100=50×1+2+4+…+100
=50+=2600
答案:2600
8.数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,an+1=3Sn(n=1,2,3,…),则log4S10=__________.
解析:an+1=3Sn,
an=3Sn-1(n≥2).
两式相减得an+1-an=3(Sn-Sn-1)=3an,
an+1=4an,即=4.
{an}从第2项起是公比为4的等比数列.
当n=1时,a2=3S1=3,
n≥2时,an=3·4n-2,
S10=a1+a2+…+a10
=1+3+3×4+3×42+…+3×48
=1+3(1+4+…+48)
=1+3×
=1+49-1
=49.
log4S10=log449=9.
答案:9
9.若=110(xN*),则x=__________.
答案:10
三、解答题
10.已知等差数列{an}满足a2=0,a6+a8=-10.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求数列{}的前n项和.
解析:(1)设等差数列{an}的公差为d,由已知条件可得
解得
故数列{an}的通项公式为an=2-n.
(2)设数列{}的前n项和为Sn,即Sn=a1++…+,故S1=1,
=++…+.
所以,当n>1时,
=a1++…+-
=1-(++…+)-
=1-(1-)-
=
所以Sn=.
综上,数列{}的前n项和Sn=.
11.等比数列{an}的各项均为正数,且2a1+3a2=1,a=9a2a6.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=log3a1+log3a2+…+log3an,求数列{}的前n项和.
解析:(1)设数列{an}的公比为q.由a=9a2a6得a=9a,所以q2=.
由条件可知q>0,故q=.
由2a1+3a2=1得2a1+3a1q=1,得a1=.
故数列{an}的通项公式为an=.
(2)bn=log3a1+log3a2+…+log3an=-(1+2+…+n)=-.
故=-=-2(-),
++…+=-2[(1-)+(-)+…+(-)]=-.
所以数列{}的前n项和为-.
12.已知{an}是一个公差大于0的等差数列,且满足a3a6=55,a2+a7=16.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{an}和数列{bn}满足等式:an=+++…+(n为正整数),求数列{bn}的前n项和Sn.
解析:(1)方法一:设等差数列{an}的公差为d,则
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