2014届高考数学一轮练之乐：144平面向量的应用.doc

一、选择题 1．在ABC中，有命题： －＝； ＋＋＝0； 若(＋)·(－)＝0，则ABC为等腰三角形； 若·＞0，则ABC为锐角三角形． 上述命题正确的是(　　) A．　　　B．　　　C．　　　D． 解析：－＝＝－≠，错误.＋＋＝＋＝－＝0，正确．由(＋)·(－)＝2－2＝0||＝||，ABC为等腰三角形，正确.·＞0cos〈，〉＞0，即cosA＞0，0°＜A＜90°，但不能确定B，C大小，不能判定ABC是否为锐角三角形，错误，故选C. 答案：C 2．已知点A、B的坐标为A(4,6)、B，与直线AB平行的向量的坐标可以是(　　) 　　　(－7,9) A． B． C． D． 解析：＝，＝－＝－，＝－＝－，＝.故选C. 答案：C 3．已知直线l与x，y轴分别相交于点A，B，＝2i－3j(i，j分别是与轴x，y正半轴同方向的单位向量)，则直线l的方程是(　　) A．3x－2y＋6＝0 B．3x＋2y＋6＝0 C．2x＋3y＋6＝0 D．2x－3y＋6＝0 解析：由于i，j分别是与轴x，y正半轴同方向的单位向量，所以＝(2，－3)，而A，B分别在x轴，y轴上，可得A(－2,0)，B(0，－3)，由此可得直线的方程为3x＋2y＋6＝0. 答案：B 4．如图所示，一个物体受到四个共点力作用，处于平衡状态，当三个力的大小和方向都不变而F4的方向顺时针转过90°，大小不变，这时该物体受到的合力的大小是(　　) A．0 B．2|F4| C.|F4| D.|F4| 解析：物体处于平衡状态，物体所受合外力为0，当F4的方向顺时针转过90°时，余下的三个力的合力与F4的大小相等、方向相反，即沿图中的OA方向．此时物体所受的力相当于是两个互相垂直的F4作用，所以物体受到的合力大小是|F4|. 答案：C 5．已知点O、A、B不在同一条直线上，点P为该平面上一点，且＝，则(　　) A．点P在线段AB上 B．点P在线段AB的反向延长线上 C．点P在线段AB的延长线上 D．点P不在直线AB上 解析：由于2＝3－， 2－2＝－，即2＝. ＝，则点P在线段AB的反向延长线上，选B. 答案：B 6．在直角ABC中，CD是斜边AB上的高，则下列等式不成立的是(　　) A．||2＝· B．||2＝· C．||2＝· D．||2＝ 解析：对选项C，如图所示， · ＝||·||·cos(π－ACD) ＝－||·||cosACD ＝－||2≠||2. 答案：C 二、填空题 7．通过点A(－1,2)，且平行于向量a＝(3,2)的直线方程为__________． 解析：方法一：直线与a＝(3,2)平行，直线斜率k＝， 直线方程为y－2＝(x＋1)，即2x－3y＋8＝0. 方法二：过点A且平行于向量的直线是唯一确定的，把这条直线记为l，在l上任取一点P(x，y)，则a. 如果点P不与点A重合，由向量平行，它们的坐标满足条件＝，整理，得方程为2x－3y＋8＝0. 方法三：设P(x，y)为所求直线上任意一点， 由题意知a，而＝(x＋1，y－2)，a＝(3,2)， (x＋1)·2－(y－2)·3＝0， 化简得2x－3y＋8＝0，即为所求直线的方程． 答案：2x－3y＋8＝0 8．在长江南岸渡口处，江水以12.5 km/h的速度向东流，渡船的速度为25 km/h.渡船要垂直地渡过长江，则航向为__________． 解析：如图，渡船速度为，水流速度为，船实际垂直过江的速度为，依题意知，||＝12.5，||＝25，由于四边形OADB为平行四边形，则||＝||，又ODBD， 在RtOBD中，BOD＝30°，航向为北偏西30°. 答案：北偏西30° 9．已知A(2，－1)，B(－1,1)，O为坐标原点，动点M满足＝m＋n，其中m，nR且2m2－n2＝2，则M的轨迹方程为__________． 解析：设M(x，y)，则＝(x，y)， 又＝(2，－1)，＝(－1,1)， 由＝m＋n得(x，y)＝(2m，－m)＋(－n，n)． 于是 由2m2－n2＝2消去m，n得M的轨迹方程为 x2－2y2＝2. 答案：x2－2y2＝2 三、解答题 10．已知点P(－3,0)，点A在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线AQ上，满足·＝0，＝－.当点A在y轴上移动时，求动点M的轨迹方程． 解析：设点M(x，y)为轨迹上的任一点，且设A(0，b)，Q(a,0)(a＞0)，则＝(x，y－b)，＝(a－x，－y)． ＝－. (x，y－b)＝－(a－x，－y)． a＝，b＝－，即A，Q. ＝，＝. ·＝0，3x－y2＝0. 即所求轨迹方程为y2＝4x(x＞0)． 11．已知向量a＝，b＝，x.若函数f(x)＝a·b－λ|a＋b|的最小值为－，求实数λ的值． 解析：|a|＝1，|b|＝1，x， a·b＝cos