2014届高考数学一轮：164基本不等式及其应用.doc

一、选择题 1.设a＞0，b＞0.若是3a与3b的等比中项，则＋的最小值为(　　) A.8　　　　　B．4　　　　　C．1　　　　D. 解析：由题意有()2＝3a·3b?a＋b＝1，又a＞0，b＞0，∴＋＝(＋)(a＋b)＝1＋＋＋1≥2＋2＝4，∴＋的最小值为4. 答案：B 2.若函数f(x)＝x＋(x＞2)在x＝a处取最小值，则a＝(　　) A.1＋ B．1＋ C.3 D．4 解析：当x＞2时，x－2＞0，f(x)＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当x－2＝(x＞2)，即x＝3时取等号，即当f(x)取得最小值时，x＝3，即a＝3，选C. 答案：C 3.设x，y∈R，a＞1，b＞1.若ax＝by＝3，a＋b＝2，则＋的最大值为(　　) A.2 B. C．1 D. 解析：由ax＝by＝3，得x＝loga3，y＝logb3，∴＋＝log3(ab)≤log3()2＝1，故选C. 答案：C 4.当x＞2时，不等式x＋≥a恒成立，则实数a的(　　) A.最小值是8 B．最小值是6 C.最大值是8 D．最大值是6 解析：x＋＝(x－2)＋＋2≥4＋2＝6， 又x＋≥a恒成立， 故a≤6，所以a的最大值为6. 答案：D 5.已知x＞0，y＞0，且＋＝1，若x＋2y＞m2＋2m恒成立，则实数m的取值范围是(　　) A.m≥4，或m≤－2 B．m≥2，或m≤－4 C.－2＜m＜4 D．－4＜m＜2 解析：∵x＞0，y＞0，且＋＝1， ∴x＋2y＝(x＋2y)(＋)＝4＋＋≥4＋2＝8，当且仅当＝，即4y2＝x2，x＝2y时取等号，又＋＝1，此时x＝4，y＝2. ∴(x＋2y)min＝8，要使x＋2y＞m2＋2m恒成立，只需(x＋2y)min＞m2＋2m成立，即8＞m2＋2m，解得－4＜m＜2. 答案：D 6.某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品(　　) A.60件 B．80件 C.100件 D．120件 解析：若每批生产x件产品，则每件产品的生产准备费用是，存储费用是，总的费用是＋≥2＝20，当且仅当＝时取等号，即x＝80. 答案：B 二、填空题 7.已知log2a＋log2b≥1，则3a＋9b的最小值为__________． 解析：log2a＋log2b＝log2(ab)．∵log2a＋log2b≥1，∴ab≥2且a＞0，b＞0.3a＋9b＝3a＋32b≥2＝2≥2≥2＝18，当且仅当a＝2b，即a＝2，b＝1时等号成立．∴3a＋9b的最小值为18. 答案：18 8.若实数x、y满足x2＋y2＋xy＝1，则x＋y的最大值是__________． 解析：∵xy≤(x＋y)2，∴1＝x2＋y2＋xy＝(x＋y)2－xy≥(x＋y)2－(x＋y)2＝(x＋y)2，∴(x＋y)2≤， ∴－≤x＋y≤，当x＝y＝时，x＋y取得最大值. 答案： 9.在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直线与函数f(x)＝的图象交于P，Q两点，则线段PQ长的最小值是__________． 解析：由题意知：P、Q两点关于原点O对称，不妨设P(m，n)为第一象限中的点，则m＞0，n＞0，n＝，所以|PQ|2＝4|OP|2＝4(m2＋n2)＝4(m2＋)≥16(当且仅当m2＝)，即m＝时，取等号)，故线段PQ长的最小值是4. 答案：4 三、解答题 10.设＝(1，－2)，＝(a，－1)，＝(－b,0)，a＞0，b＞0，O为坐标原点，若A、B、C三点共线，求＋的最小值． 解析：＝－＝(a－1,1)， ＝－＝(－b－1,2)， ∵与共线， ∴2(a－1)＋b＋1＝0，即2a＋b＝1. ∵a＞0，b＞0， ∴＋＝(＋)(2a＋b)＝4＋＋≥4＋4＝8， 当且仅当＝，即b＝2a时等号成立． ∴＋的最小值为8. 11.如图所示，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18000cm2，四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm.怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)能使矩形广告面积最小？ 解析：方法一：设矩形栏目的高为acm，宽为bcm，则ab＝9000.① 广告的高为a＋20，宽为2b＋25，其中a＞0，b＞0. 广告的面积S＝(a＋20)(2b＋25) ＝2ab＋40b＋25a＋500＝18500＋25a＋40b ≥18500＋2＝18500＋2 ＝24500. 当且仅当25a＝40b时等号成立，此时b＝a，代入①式得a＝120，从而b＝75，即当a＝120，b＝75时，S取得最小值24500， 故广告的高为140cm，