2014届高考数学一轮：122导数的应用(一).doc

一、选择题 1．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是(　　) A．(－∞，2)　　　　　　　B．(0,3) C．(1,4) D．(2，＋∞) 解析：函数f(x)＝(x－3)ex的导数为f ′(x)＝[(x－3)ex]′＝1·ex＋(x－3)·ex＝(x－2)·ex，由函数导数与函数单调性关系得：当f ′(x)＞0时，函数f(x)单调递增，此时由不等式f ′(x)＝(x－2)·ex＞0解得：x＞2. 答案：D 2．函数y＝－2sinx的图象大致是(　　) 解析：y′＝－2cosx，令y′＝0，得cosx＝，根据三角形函数的知识可知这个方程有无穷多解，即函数y＝－2sinx有无穷多个极值点，函数是奇函数，图象关于坐标原点对称，故只能是选项C中的图象． 答案：C 3．若a＞0，b＞0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于(　　) A．2 B．3 C．6 D．9 解析：函数的导数为f ′(x)＝12x2－2ax－2b，由函数f(x)在x＝1处有极值，可知函数f(x)在x＝1处的导数值为零，12－2a－2b＝0，所以a＋b＝6，由题意知a，b都是正实数，所以ab≤()2＝()2＝9，当且仅当a＝b＝3时取到等号，故选D. 答案：D 4．设直线x＝t与函数f(x)＝x2，g(x)＝lnx的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为(　　) A．1 B. C. D. 解析：|MN|的最小值，即函数h(x)＝x2－lnx的最小值， h′(x)＝2x－＝，显然x＝是函数h(x)在其定义域内唯一的极小值点，也是最小值点，故t＝. 答案：D 5．设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，cR)．若x＝－1为函数f(x)ex的一个极值点，则下列图象不可能为y＝f(x)的图象是(　　) 解析：若x＝－1为函数f(x)ex的一个极值点，则易得a＝c.因选项A、B的函数为f(x)＝a(x＋1)2，则[f(x)ex]′＝f ′(x)ex＋f(x)(ex)′＝a(x＋1)(x＋3)ex，x＝－1为函数f(x)ex的一个极值点满足条件；选项C中，对称轴x＝－＞0，且开口向下，a＜0，b＞0，f(－1)＝2a－b＜0，也满足条件；选项D中，对称轴x＝－＜－1，且开口向上，a＞0，b＞2a， f(－1)＝2a－b＜0，与图象矛盾，故答案选D. 答案：D 6．函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意xR，f ′(x)＞2，则f(x)＞2x＋4解集为(　　) A．(－1,1) B．(－1，＋∞) C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞) 解析：令函数g(x)＝f(x)－2x－4，则g′(x)＝f ′(x)－2＞0，因此，g(x)在R上是增函数，又因为g(－1)＝f(－1)＋2－4＝2＋2－4＝0.所以，原不等式可化为：g(x)＞g(－1)，由g(x)的单调性，可得x＞－1. 答案：B 二、填空题 7．已知函数f(x)＝x3＋mx2＋(m＋6)x＋1既存在极大值又存在极小值，则实数m的取值范围是__________． 解析：f ′(x)＝3x2＋2mx＋m＋6＝0有两个不等实根，即Δ＝4m2－12×(m＋6)＞0， m＞6，或m＜－3. 答案：(－∞，－3)(6，＋∞) 8．设函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx(c＜0)，其图象在点A(1,0)处的切线的斜率为0，则f(x)的单调递增区间是__________． 解析：f ′(x)＝ax2＋bx＋c，则由题意， 得f(1)＝a＋b＋c＝0且f ′(1)＝a＋b＋c＝0， 解得b＝－a，c＝a， c＜0，a＜0， 所以f ′(x)＝a(3x2－4x＋1) ＝a(3x－1)(x－1)≥0， 即(3x－1)(x－1)≤0，解得≤x≤1， 因此函数f(x)的单调递增区间为. 答案： 9．已知函数f(x)＝ex－2x＋a有零点，则a的取值范围是__________． 解析：由原函数有零点，可将问题转化为方程ex－2x＋a＝0有解问题， 即方程a＝2x－ex有解． 令函数g(x)＝2x－ex， 则g′(x)＝2－ex，令g′(x)＝0，得x＝ln2， 所以g(x)在(－∞，ln2)上是增函数，在(ln2，＋∞)上是减函数， 所以g(x)的最大值为：g(ln2)＝2ln2－2. 因此，a的取值范围就是函数g(x)的值域， 所以，a(－∞，2ln2－2]． 答案：(－∞，2ln2－2] 三、解答题 10．(2013·济宁调研)已知函数f(x)＝x2＋alnx. (1)当a＝－2e时，求函数f(x)的单调区间和极值． (2)若函数g(x)＝f(x)＋在[1,4]上是减函数，求实数a的取值范围． 解析：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)． 当a＝－2e时，