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高三数学复习 必修五 第二章 数列 §2.2 等差数列 的概念及通项公式 教学目标知识目标：　等差数列公式的推导方法；掌握公式。能力目标：从特殊到一般的认知规律，让学生在实践中通过观察、尝试、分析、类比的方法等差数列的公式，培养学生观察、联想、归纳、分析、综合和逻辑推理的能力。 情感目标公式的发现反映了普遍性寓于特殊性之中，从而使学生受到辩证唯物主义思想的熏陶通过公式的运用，树立学生大众学的思想意识。项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示。用递推公式表示为（符号表示） 或。 2、等差数列的通项公式： 函数思想： an = d n +（a1-d）； 推导方法： (n－1)个等式累加得：an - a1 =（n-1）d 所以 说明：等差数列的单调性：为递增数列，为常数列， 为递减数列。 3、等差中项的概念： 定义：如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项。其中 ，，成等差数列 A-a = b- A或 4、等差数列的证明方法：a、定义法： b、中项法：2an = an+1 + an-1 或 （n≥2） 5、等差数列中常用的基本性质： ① ②若，且则 ③若数列是公差为d的等差数列，则数列是公差为2d的等差数列。 ④若、是等差数列，则是等差数列（其中p、q是不同时为零的常数）。 ⑤若数列是公差为d的等差数列，则ak，ak+m，ak+2m···（k、m）是等差数列，且公差为md。 ⑥若数列是公差为d的等差数列， 归纳：１．理解等差数列的定义及通项公式要抓住关键词和关键量； 2．数列中的三项问题，注意中项的运用． 3、运用性质时，要注意前提条件。 二、例题精析： 例1．在等差数列{an}中，已知a5＝10，a15＝25，（1）求a25 （2）试问154是否为此数列的项？若是说明是第几项；若不是，说明理由. 思路一：根据等差数列的已知两项，可求出a1和d，然后可得出该数列的通项公式，便可求出a25. 解法一：设数列{an}的首项为a1,公差为d,则根据题意可得： 解这个方程组，得a1＝4，d＝. ∴这个数列的通项公式为：＝4＋×(n－1)，即： ∴a25＝×25＋＝40. ＝am＋(n－m)d.这样可简化运算. 解法二：由题意可知：a15＝a5＋10d，即25＝10＋10d, ∴10d＝15. 又∵a25＝a15＋10d，∴a25＝25＋15＝4差数列{an}中，a5，a15，a25成等差数列 ∴2a15＝a5＋a25，即a25＝2a15－a5, ∴a25＝2×25－10＝ 解得a25 = 40 （2）假设154是该数列中的项，则：154＝n＋. 所以154是该数列中的项。 评述：运用等差数列的通项公式，知三求一.如果已知两个条件，就可以列出方程组解之，这是基本的方法.如果能正确的利用等差数列的性质，几何意义去考虑可能达到事半功倍的效果，因此要根据自己的知识储备，选择适当的方法，具体问题具体分析. 【归纳】 “知三求一”方法： 　　数列角度：（１）等差数列通项基本量代入 　　　　　　　（２）等差数列的基本性质 　　　　　　　（３）等差中项 　　函数观点：“一次”函数（，其中d可为零） 　　数形结合：（１）直线方程 　　　　　　　（２）斜率公式 针对训练1：等差数列{an}的公差d＜0且a2a4=12，a1+a5=8，则an=（ ） 针对训练2：等差数列{an}中，a1=，a2+a5=4 ，an=33 ，则n=（ ） 　 针对训练3： 梯子的最高一级宽33 cm，最低一级宽110 cm，中间还有10级，各级的宽度成等差数列，中间两级的宽度分别为 ， 。 分析：首先要数学建模，即将实际问题转化为数学问题，然后求其解，最后还要结合实际情况将其还原为实际问题的解. 解：用{an}表示梯子自上而下各级宽度所成的等差数列，由已知条件，有a1＝33， a12＝110，n ＝12. 由通项公式，a12＝＋(12－1)即：110＝33＋11，解得：＝7. 因此，{an }中，a1=，an＝ （n≥2），数列 满足。 求证：，数列是等差数列。 求an的表达式 证明： 归纳：证明数列{an }是等差数列的两种基本方法是： (1)利用定义，证明为常数; (2)利用等差中项，即证明2an = an+1 + an-1 或 （n≥2） 针对训练2：（2008全国1改编）在数列{an }中，a1=1， 设,证明：数列是等差数列。 求an的表达式。 三、课堂小结： １． 等差数列的重点之一是通项公式,等差数列的计算有两种基本方法： （１）运用通项公式的基本量建立方程组； （２）用中项公式和性质可以简化计算；