第九讲：三角向量复数.doc

PAGE  PAGE 23 第九讲：三角 向量 复数 【知识要点】 一,三角函数 (一),三角函数基础公式.(诱导公式,二倍角公式,半角公式,和差化积公式,积化和差公式) (二),有关的公式,定理: 在中,R为外接圆半径,为内切圆半径,,则 1,正弦定理:, 2,余弦定理:,,. 3,射影定理:,,. 4,面积:= =. 5,一个重要不等式:若,则, 6,一个重要等式:,其中,由点所在的象限与比值确定. (三),三角函数的最值:  = 1 \* GB3 ①,(或)型:用(或)求解.但要注意 的正负;  = 2 \* GB3 ②, 型,运用重要等式(6)求解;  = 3 \* GB3 ③ (或)型:设(或),则,化为二次函数的最 问题;  = 4 \* GB3 ④,(或)型:解出(或),用(或 )求解,或用分离常数法;  = 5 \* GB3 ⑤,(或)型:整理后 运用重要等式(6)求解;  = 6 \* GB3 ⑥,含有型:设, 将转化为的关系式,化为二次函数的最值问题. 例1 ,其中为定值,当增加时,函数 的值是 A,恒为定值 B,逐渐增加 C,逐渐减少 D,变化不定 【解析】,A = = ==. 例2关于的方程至少有一个解,则实数应满足 A, B, C, D, 【解析】,C 设,则,即,得,而,有,从而,由,得. 例3若函数,对任意都使为常数, 则正整数应为 A,1 B,3 C,3或1 D,不存在 【解析】B 因为,故,由,知为奇数,于是,得,即.故或3,但时,不恒为0.不合题意舍去,故. 例4 M,N在的斜边AB上,,,那么M,N两点分别到两直角边的距离之和与的周长之比的最大可能值是（ ） A, B, C, D, 【解析】A 设,且于E,于D,于G,于F,则,,,,,,所求比例,于是 ,由,解得. 例5如果函数的图像关于直线对称,则的值是 . 【解析】 由题意知在点 处取得最大值或最小值,于是得 ,整理得,解得. 例6 已知为正整数,则以3,5,为三边长的钝角三角形有 个. 【解析】2个 (1)当时,以1,3,5与2,3,5为边长均不能构成三角形; (2)当时,即,以3,4,5为边长构成的是直角三角形,不合题意; (3)当时,设边长为的边所对的钝角为,由余弦定理有: 又,得,即,又,得或7. 例7当 时,关于的方程的两 根的平方和有最大值. 【解析】 ,，==,当时,. 例8已知,则的最小值 是 . 【解析】 是平面点A与距离的平方, 而A在圆上,B在双曲线上,由方程组求得 例9设函数,,若当时, 恒成立,求实数的取值范围. 【解析】由,知是奇函数,而得在R上为增函数,则有,令有,恒成立. = 1 \* GB3 ① 将 = 1 \* GB3 ①转化为:, (1)当时,; (2)当时,,由函数在上递减,知 当时, ,于是得. 综(1),(2)所述,知. 二,平面向量: (一),向量加减法中的三角形法则与平行四边形法则.(二),向量加减运算: (三),实数与向量的积: 1,当时,与同向;2当时,与反向;3当时,. (四),平面向量的数量积: 设两个非0向量,()是与的夹角,则 =. (五),有关的公式,定理. 1,平面向量基本定理:如果是同一平面内的两个不共线向量,那么对该平面内的任一向量,有且只有一对实数,使. 2,两个非0向量的平行与垂直的充要条件:  = 1 \* GB3 ①,(或); = 2 \* GB3 ②,(或). 3,线段的定比分点坐标公式:设,,,且,则 ,中点公式. 4,平移公式:如果点按向量平移至点,即 =,整理可得:. 例10设平面上的向量满足关系,,又设与的模为1,且互相 垂直,则与的夹角为 【解析】 由已知解得, 由，可得的值. 例11求函数的值域. 【解析】构造向量,,则,而,所以,得,另一方面:由,得,所以原函数的值域是. 三,复数: 1,复数的四种表示形式 (1),代数形式:,,; (2),几何形式:复平面上点或向量,表示两点之间的距离; (3),三角形式:,;(4),指数形式:. 2,复数的四则运算. 3,复数的模,共轭复数及性质 (1),; (2),; (3),;;; . (