10.5二阶常系数微分方程许.ppt

微分方程 二阶常系数线性微分方程的定义 2、 型 三、小结 * 第五节 二阶常系数线性微分方程 一、二阶常系数齐次线性微分方程 二、二阶常系数非齐次线性微分方程 二阶常系数齐次线性方程的标准形式 二阶常系数非齐次线性方程的标准形式 （2） （1） 一、二阶常系数齐次线性微分方程 1.解的结构 1)线性相关、线性无关 例如 线性无关 线性相关 （2） 2）解的结构 都是微分方程的解, 是对应齐次方程的解, 常数 所求通解为 解 2.二阶常系数齐次线性微分方程的解法 -----特征方程法 将其代入上述方程, 得 故有 特征方程 特征根 1.有两个不相等的实根 两个线性无关的特解 得齐次方程的通解为 特征根为 (2)有两个相等的实根 一特解为 得齐次方程的通解为 特征根为 =0 =0 3. 有一对共轭复根 重新组合 得齐次方程的通解为 特征根为 定义 由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特征方程法. 解 特征方程为 解得 故所求通解为 例 解 特征方程为 解得 故方程的通解为 例2 求导, 得 由初始条件得 解方程组,得 于是所求特解为 解 特征方程为 解得 故所求通解为 例3 二、二阶常系数非齐次线性微分方程 1.二阶常系数非齐次线性微分方程解的结构 (1) 对应齐次方程 关键是求特解 f(x)的常见类型 方法：待定系数法. 设非齐次方程特解为 代入原方程（1） 综上讨论 注意 上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程（k是重根次数）. 设非齐次方程特解为 结论： 解 对应齐次方程通解 特征方程 特征根 代入方程, 得 原方程通解为 例1 解 对应齐次方程通解 特征方程 特征根 代入方程, 得 原方程通解为 解 对应齐次方程通解 特征方程 特征根 代入方程, 得 原方程通解为 解: 特征方程为 对应的齐次方程的通解为 设非齐次方程的特解为 代入有: 故:非齐次方程的通解为 解: 特征方程为 对应的齐次方程的通解为 设非齐次方程的特解为 代入有: 故非齐次方程的通解为 1.二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤: （1）写出相应的特征方程; （2）求出特征根; （3）根据特征根的不同情况,得到相应的通解. (见下表) 特征方程 2.二阶常系数非齐次微分方程的特解 特解: 特解: