ch2-7函数的连续性.ppt

一、函数的连续性 二、函数的间断点 三、初等函数的连续性 四、小结 思考题 1.函数在一点连续必须满足的三个条件; 3.间断点的分类与判别; 2.区间上的连续函数; 第一类间断点:可去型,跳跃型. 第二类间断点:无穷型,振荡型. 间断点 (见下图) * 一、函数的连续性的概念 二、函数的间断点 四、小结 思考题 第七节 函数的连续性 三、初等函数的连续性 1.函数的增量 注意： 2.连续的定义 例1 证明 证 写出函数 处连续. 处的增量 所以函数 处连续. 例2 证明 证 在其定义区间内任取一点 在它的定义域处处连续. 给 所以函数 处处连续. 与函数极限的区别 即：函数在某点连续等价于函数在该点的极限存在且等于该点的函数值. 例3 证 由定义2知 例4 证 3.单侧连续 定理 例5 解 右连续但不左连续 , 4.连续函数与连续区间 在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续. 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线. 5.基本初等函数的连续性 例6 考察函数 除了x=0 之外有定义, 所以 x=0 是间断点. 若在 x=0 点补充定义，令 x=0 时，y=1. 为此，称x=0 为函数 的可去间断点. 1.可去间断点 例7 解 注意 可去间断点只要改变或者补充可去间断处函数的定义, 则可使其变为连续点. 为该函数的可去间断点 如例7中, 例8 解 2.跳跃间断点 跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点. 特点： 左右极限相等，则为可去间断点； 左右极限不相等，则为跳跃间断点． 例8中的间断点为跳跃间断点． 3.第二类间断点 例9 解 例10 解 注意： 函数的间断点可能不只是个别的几个点. 这时也称其为振荡间断点． 狄利克雷函数(Dirichlet’s function) 在定义域R内每一点处都间断,且都是第二类间断点. 仅在x=0处连续, 其余各点处处间断. ★ ★ 在定义域 R内每一点处都间断, 但其绝对值处处连续. ★ 判断下列间断点类型: 例11 解 定理1 例如, 1. 连续函数的和、差、积、商的连续性 定理2 严格单调递增（递减）的连续函数必有 严格单调递增（递减）的连续反函数 ． 例如, 反三角函数在其定义域内皆连续. 2. 反函数与复合函数的连续性 定理3 例12 定理４ 一切初等函数在其定义区间内都是连续的. 定义区间是指包含在定义域内的区间. ３. 初等函数的连续性 1. 初等函数仅在其定义区间内连续, 在其定义域内不一定连续; 例如, 这些孤立点的去心邻域内没有定义. 注意　 例13 例14 解 解 注意　2. 初等函数在连续点求极限可用代入法. 函数f 在点 4. 连续函数的局部性质 邻域的性态. 局部有界性：若函数f在点　 连续,意味着f 不仅在 而且极限等于它的函数值.根据函数极限的性质及函数值就能判断f在点 有极限, 连续,则函数f 在点　 的某邻域内有界.　 局部保号性：若函数f在点　 连续,且　 则函数f 在点　 的邻域 同号. 四则运算：若函数 f, g 在点　 连续,则　 也连续.　 * * *