线性齐次微分方程.ppt

第四章 线性齐次方程解的结构： 定义: 两个函数在区间 I 上线性相关与线性无关的充要条件: * 机动 目录 上页 下页 返回 结束 高阶线性微分方程 阶数大于1的线性微分方程称为 高阶线性微分方程。 定理.(线性方程解的存在唯一性定理) 和f(x)在（a,b）上连续， 为任意n 个数字组成的数组 则Cauchy问题 在（a,b）上存在唯一解。 推论. f(x)=0时 在（a,b）上的唯一解必为平凡解（零解）。 n 阶齐次线性微分方程的一般形式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 是线性齐次方程（*）的解， 则 定理. 也是该方程的解. (叠加原理) 是非齐次方程 的解，则 是 的解。 问题：若 是（*）的n 个解，则 是否全部解？ 是定义在区间 I 上的 n 个函数, 使得 则称这 n个函数在 I 上线性相关, 否则称为线性无关. 例如， 在(?? , ?? )上都有 故它们在任何区间 I 上都线性相关; 又如， 若在某区间 I 上 则根据二次多项式至多只有两个零点 , 必需全为 0 , 可见 在任何区间 I 上都 线性无关. 若存在不全为 0 的常数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 线性相关 存在不全为 0 的 使 ( 无妨设 线性无关 常数 思考1: 中有一个恒为 0, 则 必线性 相关 (朗斯基行列式) 线性相关 机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考2: 的朗斯基行列式 0, 则 是否必线性相关？ 则经计算可知朗斯基行列式为0，但它们线性无关 。 例. ※对于齐次线性方程的解组成的函数组，朗斯基行列式能描述线性相关性。 定理4.3 是齐次线性方程（*） 的n 个解，W(t)表示它们的朗斯基行列式，则 是线性相关当且仅当存在 使得W(x0)=0. 推论 是齐次线性方程（*） 的n 个解，W(t)表示它们的朗斯基行列式，则 是线性无关当且仅当存在 使得W(x0) ≠0.（W(x)恒为0或者无处为0） 定理4.4. （ n 阶齐次方程 解族的构造）系数连续的方程 （1）存在 n 个线性无关解, （2）方程的任意解y都存在唯一常数组C1，……， Cn使得 ※齐线性方程的通解是全部解。 * * * * *