8 函数与方程练习题.doc

§2.8 函数与方程 一、选择题 1.下列函数图象与x轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是(　　) 解析 能用二分法求零点的函数必须在给定区间[a，b]上连续不断，并且有f(a)·f(b)0.A、B选项中不存在f(x)0，D选项中零点两侧函数值同号，故选C. 答案　C 已知函数f(x)＝ax－x－a(a0，a≠1)，那么函数f(x)的零点个数是(　　) A．0个 B．1个 C．2个 D．至少1个 答案 D 解析 在同一坐标系中作出函数y＝ax与y＝x＋a的图象，a1时，如图(1)，0a1时，如图(2)，故选D. [点评]　解决这类问题的有效方法是数形结合法． 3．方程|x2－2x|＝a2＋1(a＞0)的解的个数是(　　)． A．1 B．2 C．3 D．4 解析　(数形结合法)a＞0，a2＋1＞1.而y＝|x2－2x|的图象如图，y＝|x2－2x|的图象与y＝a2＋1的图象总有两个交点．方程有两解．答案　B 【点评】 本题采用数形结合法解题，画出对应函数的图象，观察函数的交点情况确定解的个数.若函数f(x)＝x2＋mx＋1有两个不同的零点，则实数m的取值范围是 (　　) A．(－1,1) B．(－2,2) C．(－∞，－2)(2，＋∞) D．(－∞，－1)(1，＋∞) 解析：由题意知，一元二次方程 x2＋mx＋1＝0有两不等实根，可得Δ0，即m2－40，解得m2或m－2. 答案：C 的零点所在的区间为( ) A.(-1,0) B.( 0,1) C.(1,2) D.(2,3) 答案　B ．方程x2＋x－1＝0的解可视为函数y＝x＋的图象与函数y＝的图象交点的横坐标，若x4＋ax－4＝0的各个实根x1，x2，…，xk(k≤4)所对应的点(i＝1,2，…，k)均在直线y＝x的同侧，则实数a的取值范围是(　　)．A．R B． C．(－6,6) D．(－∞，－6)(6，＋∞) 解析　(转化法)方程的根显然x≠0，原方程等价于x3＋a＝，原方程的实根是曲线y＝x3＋a与曲线y＝的交点的横坐标；而曲线y＝x3＋a是由曲线y＝x3向上或向下平移|a|个单位而得到的． 若交点(i＝1,2，…，k)均在直线y＝x的同侧， 因直线y＝x与y＝交点为：(－2，－2)，(2,2)； 所以结合图象可得：或 a∈(－∞，－6)(6，＋∞)；选D. 答案　D 【点评】 转化法能够在一定程度上简化解题过程.．已知函数f(x)＝xex－ax－1，则关于f(x)零点叙述正确的是(　　)． A．当a＝0时，函数f(x)有两个零点 B．函数f(x)必有一个零点是正数 C．当a＜0时，函数f(x)有两个零点 D．当a＞0时，函数f(x)只有一个零点 解析　f(x)＝0ex＝a＋ 在同一坐标系中作出y＝ex与y＝的图象，可观察出A、C、D选项错误，选项B正确． 答案　B 二、填空题 ．已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范围是________． 解析：画出图象，令g(x)＝f(x)－m＝0，即f(x)与y＝m的图象的交点有3个，0m1. 答案：(0,1) 则的零点是_____. 答案　零点的个数为 . 答案　．已知函数f(x)＝ex－2x＋a有零点，则a的取值范围是________． 解析　由原函数有零点，可将问题转化为方程ex－2x＋a＝0有解问题，即方程a＝2x－ex有解．令函数g(x)＝2x－ex，则g′(x)＝2－ex，令g′(x)＝0，得x＝ln 2，所以g(x)在(－∞，ln 2)上是增函数，在(ln 2，＋∞)上是减函数，所以g(x)的最大值为：g(ln 2)＝2ln 2－2.因此，a的取值范围就是函数g(x)的值域，所以，a(－∞，2ln 2－2]． 答案　(－∞，2ln 2－2] ．用二分法求方程x2＝2的正实根的近似解(精确度0.001)时，如果我们选取初始区间是[1.4,1.5]，则要达到精确度要求至少需要计算的次数是________． 解析　设至少需要计算n次，由题意知＜0.001， 即2n＞100，由26＝64,27＝128知n＝7. 答案　7 三、解答题 ．二次函数f(x)＝x2－16x＋q＋3.若函数在区间[－1,1]上存在零点，求实数q的取值范围； ：函数f(x)＝x2－16x＋q＋3的对称轴是x＝8， f(x)在区间[－1,1]上是减函数． 函数在区间[－1,1]上存在零点，则必有 ，即， －20≤q≤12. 实数q的取值范围为[－20,12] 若a1，设函数f(x)＝ax＋x－4的零点为m，g(x)＝logax＋x－4的零点为n，＋的取值范围 [分析]　欲求