概率论与数理统计C试题5.doc

习 题 五 1．某厂生产玻璃板，以每块玻璃上的泡疵点个数为数量指标，已知它服从均值为的泊松分布，从产品中抽一个容量为的样本，求样本的分布. 解 样本的分量独立且均服从与总体相同的分布，故样本的分布为 ， 2．加工某种零件时，每一件需要的时间服从均值为的指数分布，今以加工时间为零件的数量指标，任取件零件构成一个容量为的样本，求样本分布。 解 零件的加工时间为总体，则，其概率密度为 于是样本的密度为 3．一批产品中有成品个，次品个，总计个。今从中取容量为2的样本（非简单样本），求样本分布，并验证：当时样本分布为（6.1）式中的情况。 解 总体，即 于是样本的分布如下 ， ， 若时，则，所以 以上恰好是（6.1）式中的情况. 4．设总体的容量为100的样本观察值如下： 15 20 15 20 25 25 30 15 30 25 15 30 25 35 30 35 20 35 30 25 20 30 20 25 35 30 25 20 30 25 35 25 15 25 35 25 25 30 35 25 35 20 30 30 15 30 40 30 40 15 25 40 20 25 20 15 20 25 25 40 25 25 40 35 25 30 20 35 20 15 35 25 25 30 25 30 25 30 43 25 43 22 20 23 20 25 15 25 20 25 30 43 35 45 30 45 30 45 45 35 作总体的直方图 解 样本值的最小值为15，最大值为45取，，为保证每个小区间内都包含若干个观察值，将区间分成8个相等的区间。用唱票法数出落在每个区间上的样本值的个数，列表如下： 分组区间 频数 频率 14.5—18.5 18.5—22.5 22.5—26.5 26.5—30.5 30.5—34.5 34.5—38.5 38.5—42.5 42.5—46.5 10 16 29 20 4 9 2 10 0.10 0.16 0.29 0.20 0.04 0.09 0.02 0.10 100 1.00 以组距4为底，以为高作矩形即得的直方图 5．某射手独立重复地进行20次打靶试验，击中靶子的环数如下： 环数 10 9 8 7 6 5 4 频数 2 3 0 9 4 0 2 用表示此射手对靶射击一次所命中的环数，求的经验分布函数，并画出其图像。 解 设的经验分布函数为则 6．设是来自总体的简单随机样本，已知证明当充分大时，随机变量近似服从正态分布，并指出其分布参数. 证 因独立同分布，所以所以独立同分布，，，由独立同分布下的中心极限定理（列维一林德贝格定理），当充分大时 近似服从标准正态分布，所以当充分大时，近似地有 7．设是来自总体的一个样本，服从参数为的指数分布，证明. [证] 独立同分布，，今先证. 设的分布函数为则 所以的密度为 注意到，则的概率密度为 可见. 由分布的可加性立即得到 8．由附表查下列各值： 解 ，，， ，， . 9．证明若，则 证 因，所以可表示为，其中相互独立，且均服从，于是 10．已知，求证 证 ，则可表示为，其中且相互独立，于是 . 11．设是来自正态总体的简单随机样本，，求常数，使得. 解 所以当时 12．设是分布的容量为的样本，试求下列统计量的概率分布： （1）； （2） 解 ， ，，， 所以 （1） （2） 13．设是来自总体的样本，，，试求统计量的分布。 解 ， 于是 . 14．设样本和分别来自相互独立的总体和，已知和是两个实数，求随机变量 的分布 解 ，，又 所以 而 所以 . 15．从正态总体中抽取容量为的样本，如果要求样本均值位于区间（1.4, 5.4）内的概率不小于0.95，问样本容量至