4多元函数微分.ppt

四.多 元 函 数 微 分 (一).重要概念 函数概念, 定义域, 极限, 连续, 偏导数, 全微分. Z=f(x,y), P(x?.y?)?D ?在P点全微分存在 fx(P) fy(P) ?(x,y) 存在 存在 在P fx(x,y) 连续 fy(x,y) f在P f在P 在P 关于 关于 连续 x y 连续 连续 隐函数存在定理： 设函数F(x,y,z)在点 P(x0,y0,z0)的某一邻域内具有连续偏导数 ，且F(x0,y0,z0)=0，Fz(x0,y0,z0)≠0，则方程F(x,y,z)=0在点(x0,y0,z0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数z=f(x,y)，它满足条件 z0=f(x0,y0)，并有 (二).函数 例1.设 f(x+y, )=x2-y2, (x?0) 求 f(x,y). 例2.若Z=f(x,y)恒满足: f(tx,ty)=tk f(x,y) 则称该函数为k次齐次函数. 证明; k次齐次函数能化为 的形式. (三) 二重极限 例3. 讨论极限 是否存在. (四) 偏导数与全微分 例4. 求 例5. 在点(0,0)处偏导数是否存在?偏导数是否 连续?函数是否可微? 例6.求 u(x,y,z)=xy yz zx 的全微分. 例7.求由方程组确定的隐函数的偏导数. u=f(x,y,z), y=sinx. ?(x2,ey,z)=0, 其中?(x2,ey,z)=0确定z是x,y的函数, f,?有连续一阶偏导数.求 例8. 设方程组; u=f(x-ut,y-ut,z-ut), g(x,y,z)=0确定z是x,y的函数, (f,g有连续一阶偏导数). 求 例9. 方程变形: 设Z=f(u,v)具有连续二阶偏导数,作变量代换; u=x+y, v=xy, 证明; 二元函数泰勒公式 目的:为了理论的或实际计算的目的,考虑用多个变量的多项式来近似表达一个给定的多元函数,并能具体地估算出误差的大小来. 记号表示: *