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第40课 直线的方程 一、考纲要求： 1、了解确定直线位置的几何要素（两个点、一点和方向）； 2、掌握直线方程的几种形式（点斜式、斜截式、两点式、截距式及一般式）的特点与适用范围，能根据问题的具体条件选择恰当的形式求直线的方程； 3、熟悉直线方程各形式的特征，理解各形式之间的关系，会由已知直线方程求相关的特征量。 二、经过点，斜率为，则它的点斜式方程是　　　　　　　　　；若直线在轴上的截距为，斜率为，则它的方程是　　　　　　　　。 2、直线经过点，则它的两点式方程是　　　　　　　　　　；若直线在轴上的截距为，在轴上的截距为，则它的截距式方程是　　　　　　　　　。 3、直线方程的一般式是，则满足的条件为　　　　　　　　　　。 解析： 1、确定一条直线需要两个独立的条件，一是方向（斜率或倾斜角），二是位置（一个定点）； 2、直线的点斜式方程是其他各种形式的基础，除了一般式，其余各种形式都有其局限性。点斜式（斜截式）不能表示垂直于轴的直线；两点式（截距式）不能表示垂直于的直线，截距式还不能表示过原点的直线； 3、求直线的方程主要有两种方法：①直接法，根据已知条件，选择适当的形式，直接写出直线的方程；②待定系数法，先设出直线方程，根据已知条件求出待定的系数，再代入，求出直线方程。 4、分类讨论、数形结合是常用的数学思想，分类讨论主要是针对斜率存在与不存在。 三、诊断练习： 1、教学处理：2、点评，则直线的方程为　　　　　　　。 【分析与点评】本题根据两点式方程的形式，直接写出直线方程，然后化简得。另外，教学中，提醒学生： （1）本题还可用待定系数法或用斜率公式求出直线的斜率，转化为根据斜截式方程写出直线方程； （2）求直线的方程，如果没有特殊的要求，最后的结果一般要写成直线的一般式或直线的斜截式方程。 2、经过点P（2,3）且倾斜角等于直线x-3y+4=0的倾斜角的2倍的直线方程是 【分析与点评】求出直线x-3y+4=0的斜率后，利用二倍角公式求出所要求的直线的斜率。由直线的点斜式写出的方程。 3、过点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程是　　　　　　　　　　　　　　　。 【分析与点评】（1）一般地，学生会通过设出直线的截距式方程来求，要提醒学生，这种解法的前提是直线在轴上的截距不能等于，所以，需要将截距为的情况补充上去，从而得到所求的直线方程为或； （2）除了本题这类问题要考虑是否过原点外，另外，还有一些其它的问题同样也要考虑，如直线在两坐标轴上截距成相反数；直线在标轴上的截距是在轴上的截距的多少倍等，处理此类问题，要注意分类讨论思想的应用，注意思维的严谨性。 题4、若直线在轴上的截距是，则　　　。 【分析与点评】（1）根据直线的方程求出它在轴上的截距，令它等于，则可得到答案，求出答案后要验证斜率是否存在； （2）根据直线的方程来求直线在轴上的截距有两种方法：①在方程中令，则可得到它在轴上的截距；令，则可得到它在轴上的截距；②将直线方程化为斜截式方程就可得到它在轴上的截距。 3、归纳过点． （1）直线的斜率为2，求直线的方程； （2）直线经过点，求直线的方程； （3）直线l在x轴上截距与y轴上截距之比为2:1，求直线l的方程。 【教学处理】【】，即。 问题2：已知直线经过两点，此时你有多少种方法求直线的方程？ 方法一：应用两点式方程得，即； 方法二：转化为点斜式来求。由题意得直线的斜率为，故由直线的点斜式方程得所求直线方程为，即。 方法三：待定系数法：设直线的方程为，则根据题意得，解得，所以，所求的直线方程为。 问题3：直线方程的截距式方程适用范围是什么？ 问题4：直线在坐标轴上截距之比为2:1，直线的方程能设为吗？类似地，直线在x轴上的截距是y轴上截距的2倍，直线的方程能设为吗？ 问题5：直线在坐标轴上的截距之比为2:1互为相反数，直线的斜率为对吗？类似地，直线在坐标轴上的截距相等或者为相反数，直线的斜率为和1吗？ 例2、过点作直线，使它被两直线所截得的线段恰好被平分，求直线的方程。 【教学处理】【】，则它在上，从而，那么你能找到点满足的另一个条件吗？ 解法一：因为的中点为，故，它在上，故，与上式联立解得，故，直线方程为。 问题4：若另一要素选择“方向”――斜率，首先要注意什么？（分类讨论）此时，你如何处理本题？（方法一：显然直线垂直于轴时，不成立，故设直线的方程为分别与的方程联立成方程组，解得，从而，故；方法二：将方程构成方程，将直线与之相联立，得：，从而，故。方法二应用了整体思想） 【变式】在中，已知，且边的中点在轴上，边的中点在轴上，求：（1）顶点的坐标；（2）直线的方程。 答案：（1）；（2）。 例3、直线过点，分别与轴的正半轴交于点为坐标原点。 （1）当△ABO的面积最小时，求直线l的方程； （2）当OA