2009广东省数学高考题目及答案.doc

2009年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷) 数学(理科) 本试卷共4页,21小题,满分150分；考试用时120分钟。 参考公式:锥体的体积公式,其中是锥体的底面积,是锥体的高. 一.选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目的要求的.) 1.已知全集,集合的关系的韦恩()图如图所示,则阴影部分所示的集合的元素共有 A. 3个 B. 2个 C.1个 D.无穷多个 2.设是复数,表示满足的最小正整数,则对虚数单位, A. 8 B.6 C.4 D. 2 3.若函数是函数的反函数，其图像经过点，则 A. B. C. D. 4.巳知等比数列满足,且,则当时, A. B. C. D. 5. 给定下列四个命题： ①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行； ④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直． 其中，为真命题的是 A. ①和② B. ②和③ C. ③和④ D. ②和④ 6.一质点受到平面上的三个力（单位:牛顿）的作用而处于平衡状态.已知成角,且的大小分别为２和４,则的大小为 A. 6 B. 2 C. D. 7.2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有 A. 36种 B. 12种 C. 18种 D. 48种 8.已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线〈假定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为（如图2所示）．那么对于图中给定的， 下列判断中一定正确的是 A.在时刻，甲车在乙车前面 B.时刻后，甲车在乙车后面 C.在时刻，两车的位置相同 D.时刻后，乙车在甲车前面 二、填空题:本大题共7小题,每小题5分,满分30分,本大题分必做题和选做题两部分. (一)必做题:第9、10、11、12题为必做题,每道试题考生都必须做答. 9.随机抽取某产品件，测得其长度分别为，则图3 所示的程序框图输出的 ，表示的样本的数字特征是 ．（注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”“：=”） 10.若平面向量满足,平行于轴,, 则 ． 11. 巳知椭圆的中心在坐标原点，长轴在轴上，离心率为,且上一点到的两个焦点的距离之和为12，则椭圆的方程为 ． 12.已知离散型随机变量的分布列如右表．若，， 则 ， ． (二)选做题:第13、14、15题为选做题,考生只能选做其中的两题,三题全答的,只计算前两题的得分. 13.(坐标系与参数方程选做题)若直线(为参数)与直线（为参数）垂直，则 ． 14.(不等式选讲选做题)不等式的实数解为 ． 15.(几何证明选讲选做题)如图4,点是圆上的点,且, 则圆的面积等于 ． 三、解答题(本大题共6小题,共80分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 16.(本小题满分12分） 已知向量与互相垂直,其中． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）若，求的值． 17.(本小题满分12分) 根据空气质量指数API（为整数）的不同，可将空气质量分级如下表: 对某城市一年（365天）的空气质量进行监测，获得API数据按照区间 进行分组，得到频率分布直方图如图5 （Ⅰ）求直方图中的值； （Ⅱ）计算一年屮空气质量分别为良和轻微污染的天数； （Ⅲ）求该城市某一周至少有2天的空气质量为良或轻微 污染的概率.(结果用分数表示．已知 ） 18.(本小题满分14分) 如图６,已知正方体的棱长为２,点Ｅ是正方形的中心,点Ｆ、Ｇ分别是棱的中点.设点分别是点Ｅ、Ｇ,令,则在上恒成立 故在上单调递减, 从而,即. 综上, 成立. 2009年 数学答案 1.【解析】B.为奇数集,阴影部分表示集合元素的 个数,而,故选B. 2.【解析】C.因为,故,故选C. 3. 【解析】B.依题意,且,故选