立体几何解答[规范解答].doc

13. 如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F （1）证明PA//平面EDB； （2）证明PB⊥平面EFD； （3）求二面角C—PB—D的大小 方法一： （1）证明：连结AC，AC交BD于O，连结EO ∵底面ABCD是正方形 ∴点O是AC的中点 在中，EO是中位线，∴PA // EO 而平面EDB且平面EDB， 所以，PA // 平面EDB （2）证明： ∵PD⊥底面ABCD且底面ABCD ∴ ∵PD=DC，可知是等腰直角三角形，而DE是斜边PC的中线， ∴ ① 同样由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC ∵底面ABCD是正方形，有DC⊥BC ∴BC⊥平面PDC 而平面PDC，∴ ② 由①和②推得平面PBC 而平面PBC，∴ 又且，所以PB⊥平面EFD 方法二：如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点，设 （1）证明：连结AC，AC交BD于G，连结EG 依题意得 ∵底面ABCD是正方形 ∴G是此正方形的中心，故点G的坐标为且 ∴，这表明PA//EG 而平面EDB且平面EDB，∴PA//平面EDB （2）证明；依题意得，又，故 ∴ 由已知，且，所以平面EFD （3）解：设点F的坐标为，，则 从而所以 由条件知，，即 ，解得 ∴点F的坐标为，且， ∴ 即，故是二面角C—PB—D的平面角 ∵，且 ，， ∴ ∴ 所以，二面角C—PB—D的大小为 (2010年全国高考课标全国卷文科18）（本小题满分12分） 如图，已知四棱锥的底面为等腰梯形，∥,,垂足为，是四棱锥的高。 （Ⅰ）证明：平面 平面; （Ⅱ）若,60°,求四棱锥的体积。 【解析】 (1)因为PH是四棱锥P-ABCD的高。 所以ACPH,又ACBD,PH,BD都在平PHD内,且PHBD=H. 所以AC平面PBD. 故平面PAC平面PBD.……..6分 (2)因为ABCD为等腰梯形，ABCD,ACBD,AB=. 所以HA=HB=. 因为APB=ADR=600 所以PA=PB=,HD=HC=1. 可得PH=. 等腰梯形ABCD的面积为S=AC x BD = 2+.……..9分 所以四棱锥的体积为V=x（2+）x=……..12分 【考题再现】 (本题满分12分)如图，已知四棱锥P－ABCD的底面为等腰梯形，ABCD，ACBD垂足为H，PH是四棱锥的高，E为AD中点． (1)证明：PEBC； (2)若APB＝ADB＝60°，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值．规范解答 解题程序 解：以H为原点，HA、HB、HP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，线段HA的长为单位长，建立空间直角坐标系如图， 则A(1,0,0)，B(0,1,0)．(2分)　　 (1)证明：设C(m,0,0)，P(0,0，n)(m＜0，n＞0)， 则D(0，m,0)，E(，，0)． 可得＝(，，－n)，＝(m，－1,0)．(4分)　　 因为·＝－＋0＝0， 所以PEBC. 3 (6分)　　 (2)由已知条件及(1)可得m＝－，n＝1，则P(0,0,1)． ＝(－，－1,0)，＝(－1,0,1)(9分)　　 因此直线PA与平面PEH所成角的正弦值为.(12分)　　 第一步：识图分析几何体，找出确定几何体底面和高的条件，根据所学知识，理清图形中的数量关系.第二步：建系设点( 1 ) 因为本题中有三条直线两两垂直，可建立空间直角坐标系，从而确定点的坐标． 第三步：求向量坐标( 2 4 ) 用终点坐标减去起点坐标写出所需要的向量坐标． 第四步：计算或证明( 3 5 ) 利用证明两个非零向量垂直的充要条件和向量夹角的余弦公式进行计算和证明.方法指导 利用向量解决空间几何中的问题应注意以下几点(1)建系时，要根据图形特点，充分利用图形中的垂直关系确定原点和各坐标轴，同时，使尽可能多的点在坐标轴上或坐标平面内，这样可以比较方便的写出点的坐标，另外，正确写出所需点的坐标是利用空间向量解决立体几何问题的关键．(2)公式cos〈a，b〉＝是应用空间向量求空间中各种角的基础，在利用空间向量求线面角时，应注意线面角的正弦值等于直线的方向向量与平面法向量夹角余弦值的绝对值.