3 函数的奇偶性与周期性练习题.doc

§2.3 函数的奇偶性与周期性 一、选择题 满足,且在区间上是增函数,则( ) A. B. C. D. 域为R,且函数的图象关于对称, 因为函数在区间上是增函数,所以在上的函数值非负,故,所以, ,,所以,故选D答案2．已知定义在R上的奇函数，f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，则f(6)的值为(　　)． A．－1 B．0 C．1 D．2 解析　(构造法)构造函数f(x)＝sin x，则有f(x＋2)＝sin＝－sin x＝－f(x)，所以f(x)＝sin x是一个满足条件的函数，所以f(6)＝sin 3π＝0，故选B. 答案　B 【点评】 根据函数的性质构造出一个符合条件的具体函数，是解答抽象函数选择题的常用方法，充分体现了由抽象到具体的思维方法.内是单调递增的函数是（ ） A． B．C． D．答案　．若函数f(x)＝为奇函数，则a＝(　　)． A. B. C. D．1 解析　(特例法)f(x)＝是奇函数， f(－1)＝－f(1)， ＝－， a＋1＝3(1－a)，解得a＝. 答案　A 【点评】 本题采用特例法，可简化运算，当然也可用奇函数的定义进行解题，不过过程较为繁琐，若运算能力较弱容易出错.．函数f(x)的定义域为R，若f(x＋1)与f(x－1)都是奇函数，则(　　)． A．f(x)是偶函数 B．f(x)是奇函数 C．f(x)＝f(x＋2) D．f(x＋3)是奇函数 解析　由已知条件对xR都有f(－x＋1)＝－f(x＋1)，f(－x－1)＝－f(x－1)因此f(－x＋3)＝f[－(x－2)＋1]＝－f[(x－2)＋1]＝－f(x－1)＝f(－x－1)＝f(－x－2＋1)＝f(－(x＋2)＋1)＝－f((x＋2)＋1)＝－f(x＋3)，因此函数f(x＋3)是奇函数． 答案　D 已知f(x)是定义在R上的偶函数，并满足f(x＋2)＝－，当1≤x≤2时，f(x)＝x－2，则f(6.5)＝(　　) A．4.5 B．－4.5 C．0.5 D．－0.5 解析 　f(x＋2)＝－，f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－＝f(x)，f(x)周期为4，f(6.5)＝f(6.5－8)＝f(－1.5)＝f(1.5)＝1.5－2＝－0.5.答案 　D 【点评】 本题采用直接法，所谓直接法，就是直接从题设的条件出发，运用有关的概念、定义、性质、定理、法则和公式等知识，通过严密的推理与计算来得出题目的结论，然后再对照题目所给的四个选项来“对号入座”.其基本策略是由因导果，直接求解.已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x＜2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为(　　)． A．6 B．7 C．8 D．9 解析　当0≤x＜2时，令f(x)＝x3－x＝0，得x＝0或x＝1或x＝－1(舍去)，又f(x)的最小正周期为2，f(0)＝f(2)＝f(4)＝f(6)＝0，f(1)＝f(3)＝f(5)＝0， y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点个数为7. 答案　B 二、填空题 已知函数f(x)满足：f(1)＝，4f(x)f(y)＝f(x＋y)＋f(x－y)(x，yR)，则f(2 013)＝________. 解析　法一　当x＝1，y＝0时，f(0)＝；当x＝1，y＝1时，f(2)＝－；当x＝2，y＝1时，f(3)＝－；当x＝2，y＝2时，f(4)＝－；当x＝3，y＝2时，f(5)＝；当x＝3，y＝3时，f(6)＝；当x＝4，y＝3时，f(7)＝；当x＝4，y＝4时，f(8)＝－；…. f(x)是以6为周期的函数， f(2 013)＝f(3＋335×6)＝f(3)＝－. 法二　f(1)＝，4f(x)·f(y)＝f(x＋y)＋f(x－y)， 构造符合题意的函数f(x)＝cos x， f(2 013)＝cos＝－. 答案　－ 若函数f(x)＝(a为常数)在定义域上为奇函数，则实数a的值为________． 解析 　f(－x)＝＝ f(x)＋f(－x) ＝ ＝＝0恒成立， 所以a＝1或－1.答案 1或－1 ．若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(1)＝1，f(2)＝2，则f(3)－f(4)＝________. 解析　f(x＋5)＝f(x)且f(－x)＝－f(x)， f(3)＝f(3－5)＝f(－2)＝－f(2)＝－2，f(4)＝f(－1)＝－f(1)＝－1，故f(3)－f(4)＝(－2)－(－1)＝－1. 答案　－1 ．设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，当x[0,5]时，函数y＝f(x)的图象如图所示，则使函数值y＜0的x的取值集合为______