2013高考数学总复习精品课件 ： 等差数列.ppt

* 第二节 等差数列 基础梳理 1. 等差数列的定义 一般地，如果一个数列 从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用d表示. 2. 等差数列的通项公式 一般地，对于等差数列{an}的第n项an,有an= a1+(n-1)d .这就是等差数列{an}的通项公式，其中a1为 首项 ，d为 公差. 3. 等差中项 如果 三个数a,A,b组成的数列是等差数列，那么 ,把 叫做a和b的等差中项. 4. 等差数列的常用性质 （1）通项公式的推广：an=am+ (n-m)d (n,m∈N*). (2)若{an}为等差数列，且p+q=m+n(p,q,m,n∈N*),则 ap+aq=am+an. (3)若{an}是等差数列，公差为d,则{a2n}也是等差数列，公差为2d. (4)若{an},{bn}是等差数列，则{pan+qbn}是 等差数列. (5)若{an}是等差数列，则ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*) 组成公差为 md 的等差数列. 5. 等差数列的前n项和公式 设等差数列{an}的公差为d,其前n项和. 6. 等差数列的前n项和公式与函数的关系 数列{an}是等差数列的充要条件是其前n项和公式Sn=f(n)是n的 二次函数且常数项为0 ，即Sn= an2+bn. 7. 在等差数列{an}中，若a1＞0,d＜0，则Sn存在最 大 值; 若a1＜0,d＞0，则Sn存在最 小 值. 典例分析 题型一 等差数列的基本运算 【例1】(2008·全国)等差数列{an}中，a4=10,且a3,a6,a10成等比数列.求数列{an}前20项的和S20. 分析 用a4与d表示a3,a6,a10,根据等比中项的性质，知a26=a3a10，列方程求出d,进而根据a4与d求出首项a1，即可求S20,或用a1,d表示a3,a4,a6,a10,再列方程求出a1和d，然后求出S20. 解 设数列{an}的公差为d,则 a3=a4-d=10-d, a6=a4+2d=10+2d, a10=a4+6d=10+6d. 由a3,a6,a10成等比数列,得 a3a10=a26, 即(10-d)(10+6d)=(10+2d)2, 整理得d2-d=0, 解得d=0或d=1. 当d=0时，S20=20a4=200; 当d=1时，a1=a4-3d=10-3×1=7. 所以, 学后反思 等差数列{an}中一共涉及五个基本量，即首项a1,第n项an,项数n,公差d以及前n项和Sn,在a1,an,n,d,Sn中只要知道其中三个，其他两个就能求（简称“知三求二”）.其中a1与d是最基本的两个量，往往用它们表示其他的量列出方程（组）进一步求解.另外等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d,前n项和公式 以及其性质公式应在解题过程中灵活应用. 举一反三 （2009·全国Ⅱ）已知等差数列{ }中， 求{an}的前n项和 . 解析: 设{ }的公差为d,则 即 解得 或 所以,当 时， 当 ， 题型二 等差数列的判定 【例2】(2009·启东模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足 (1)求证: 是等差数列； （2）求an的表达式. . 分析（1）由已知条件联想 = (n≥2)，然后再利用等 差数列的定义证明 (n≥2)为常数； （2）根据等差数列的通项公式求出 ， 代入 = (n≥2)即可求出 （2）由（1）知 当n≥2时，有 又∵n=1时， ∴ 解（1）证明：∵an=Sn-Sn-1(n≥2),∴Sn-1-Sn=2Sn·Sn-1,Sn≠0, 由等差数列的定义知 是以 为首项， 以2为公差的等差数列. （2）判断等差数列最常用的方法是定义法an+1-an=d(n∈N*)和等差中项法an+1+an-1=2an(n∈N*且n≥2) 举一反三 2. (2009·湖北改编)已知数列{ }的前n项和 (n为正整数).令 ,求证:数列{ }是等差数列，并求数列{ }的通项公式. 学后反思 (1)数列{an}是等差数列 ①an-an-1=d(n∈N*且n≥2,d为常数)或an+1-an=d(n∈N*); ②