第五章插值法初次修改稿.ppt

Runge 函数 Runge 函数 ? 如图所示，Lagrange插值多项式L10(x)仅在区间中部能较好地逼近 f (x), 在其他部位差异较大，而且越接近区间端点，逼近效果越差. ? 可以证明当节点个数n趋于无穷时，存在一个常数c, c?0.726, 使得当|x|?c时，Ln(x)? f (x) (n??), 而当|x|c时{Ln(x)}发散. 这一现象称为Runge现象. ? 它表明用高次插值多项式Ln(x)近似f (x)效果不见得好，因而通常不用高次插值，而用分段低次插值. ? 常用分段低次插值: 分段线性插值, 分段三次Hermite插值, 三次样条插值. ? 分段线性插值定义 定义 已知函数 y=f (x)在区间[a, b]上的 (n+1)个节点 上的函数值 yi=f (xi) (i=0,1,…,n), 求插值函数 ?(x), 使得 在每一个小区间 上是线性函数; (1) (2) (3) 称函数?(x)为[a, b]上关于数据 (xi, yi) (i=0,1,…,n)的分段线性插值函数. x0 x1 x2 x3 ?i (x) = ai x+ bi 分段线性插值 分段线性插值 ? 根据Newton插值公式可写出?(x)的分段表达式 分段线性插值 ? 分段线性插值的误差估计 定理 如果 f (x)在[a, b]上二阶连续可微，则分段线性插值函数?(x)的余项有以下估计 其中 在每个小区间[xi, xi+1] (i=0, 1, …, n)上, ? (x)是f (x)的线性插值函数，故对任意 x?[xi , xi+1]有 证明 故 而 分段线性插值 ? 分段线性插值简单易行, 收敛性, 稳定性有保证. ? 没有光滑性, 一阶导数不连续. ? 可用更高阶的分段插值来得到连续导数，如三次样条插值. ? Hermite插值多项式 求 H(x). (1) 至多(2n+1)次多项式; (2) §4 Hermite插值 已知 H(x): Hermite插值多项式 ? (2n+1)次多项式 (2n+1)次多项式 Hi (x), hi (x) ( i=0, 1, 2,…, n): Hermite插值基函数 其中li (x)是 Lagrange插值基函数. (2n+1)次多项式 其中li (x)是 Lagrange插值基函数. (2n+1)次多项式 ? Hermite插值多项式 n=1 ?两个节点的三次Hermite插值多项式 ? 插值余项与误差估计 截断误差或插值余项 定理 若 则存在? ? (a, b), 使得 证明 故 其中 K (x)是与 x有关的待定函数. 如何求 K (x) ? 现把 x看成是[a, b]上的固定点, 作辅助函数 即 F(t )在[a, b]上有 n+2 个零点. 根据Rolle定理, F ?(t )在 F(t )的两个零点之间至少有一个零点, 故 F ?(t )在(a, b)内至少有 (n+1)+(n+1)个零点. 对F ?(t )再应用Rolle 定理， 可知F ??(t )在(a, b)内至少有(2 n+1) 个零点. 依此类推, F(2n+2) (t )在(a, b)内至少有一个零点, 记之为??(a, b), 使得 则 因此 若 则 ? 两个节点的三次Hermite插值多项式的截断误差 定理 满足 的 2n+1 阶Hermite插值多项式是唯一存在的. 因为H(x)为至多2n+1次多项式，故H(2n+2)(x)=0. 从而 ? Hermite插值多项式的唯一性 证明 假设 H(x)与 H(x) 是满足相同插值条件的 2n+1次Hermite多项式， H(x)也是 H(x) 的 (2n+1) 次Hermite插值多项式. 由余项公式 H(x)= H(x) ? 分段三次Hermite插值定义 给定函数表 求分段三次Hermite插值函数H(x), 使其满足 (1) (2) 在每个小区间[xi, xi+1] ( i=0, 1,…, n－1)上，H(x)是三次多项式. ? 分段三次Hermite插值函数H(x)的分段表达式 ? 分段三次Hermite插值函数的误差估计 其中 ? 分段三次Hermite插值函数的导数在整个区间 [a, b]上是连续，但二阶导数在内节点处不连续. ? 为了使二阶导数也在内节点处连续，可用三次样条插值函数. ? Hermite插值的一般形式 求一至多 n+m+1 次的多项式 H(x), 使得 已知函数 f (x)在(n+1)个互异节点 处的函数值； 以及某些节点上的导数值 ? 插值