平面向量的复习提纲.doc

平面向量 【教学目标】 复习平面向量的概念，向量的加法、减法、数乘、向量共线定理、平面向量基本定理，平面向量坐标表示．向量的数量积、数量积的坐标表示，向量的应用。 本章知识框架 一．基本知识点回顾 1．向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量． 2．向量的表示：①用有向线段表示；用字母、（黑体，印刷用）等表示；用有向线段的起点与终点字母：；． 说明：(1)不能说向量就是有向线段；向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段0或． 说明：零向量的方向不确定，是任意的，有无穷多个．规定所有的零向量都相等． ②单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量． ③平行向量（即共线向量）：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．记作． 说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系与相等，记作． ⑤相反向量：长度相等且方向相反的向量叫做相反向量．向量的相反向量记为． 5．向量加法的概念：已知向量和，在平面内任取一点，作，，则向量叫做与的和，记作，即．求两个向量和的运算叫做向量的加法． ①规定：，，即；②向量加法的三角形法则：在使用三角形法则求和时，必须要求向量首位相连，和向量是由第一个向量的起点指向最后一个向量终点的有向线段所表示的向量；③向量加法的平行四边形法则： 说明：(1)求和向量必须共起点．(2)向量加法的平行四边形法则，只适合于对两个不共线向量相加，两个共线向量相加，仍用三角形法则． 6．向量加法的运算律：交换律：；结合律：． 7．向量减法的有关概念:若，则向量叫做与的差，记作，求两个向量差的运算，叫做向量的减法． 8．向量减法的作图方法:在平面内任取一点，作，，则，即表示从向量的终点指向被减向量的终点的向量． 9．向量的数乘的定义：一般的，实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度和方向规定如下：（1）；(2 ) 当0时，与方向相同，当0时，与，方向相反，当＝0时，＝．实数与向量相乘，叫做向量的数乘． 10．向量数乘的运算律：（1） (结合律)； （2） (分配律)；（3） (分配律)． 11．向量共线定理：一般地，对于两个向量（），，如果有一个实数，使得，那么与是共线向量，反之，如果与（）是共线向量，那么有且只有一个实数，使得． 12．平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，，使=+．我们把不共线的向量，叫做表示这个平面内所有向量的一组基底． 13．向量的坐标表示：在直角坐标系内，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，任取一个向量a，有且只有一对实数x、y，使得a=xi+yj ①则把（x，y）叫做向量的直角坐标，记作a=(x，y) ②其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，②式为向量的坐标表示．，，，，．两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差），实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标． 15．共线向量坐标表示的一般性结论：设a，b（a≠０）如果a∥b，那么反过来如果那么a∥b与共线． 16.向量的夹角：对于两个非零向量和，作=，=，则（0θ≤180°）和的夹角．特别地，当θ=0(时，a与b同向；当θ=180(时，a与b反向；当θ=90(时，则称向量a与b垂直，记作a⊥b． 17. 平面向量数量积：已知两个非零向量a和b，它们的夹角是θ，我们把数量|a||b|cosθ叫做向量a和b的数量积（或内积）（scalar product of vectors），记作a·b，即：a·b=|a||b|cosθ． 我们规定：零向量与任一向量的数量积为0． 向量数量积模的性质：当a与b 同向时，a·b=|a||b|；当a与b 反向时，a·b=－|a||b|． 特别地，a·a=|a|2或|a|= ． 向量数量积的运算律：设向量a，b，c和实数λ，则向量的数量积满足下列运算律： （1）a·b=b·a；（交换律）； （2）（λa）·b=a·（λb）=λ（a·b）=λa·b；（结合律）； （3）（a+b）·c=a·c+b·c．（分配律）。 18.平面向量数量积的坐标表示：若两个向量为a= (x1,y1)，b= (x2,y2)，则a·b=x1x2+y1y2． 即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和． 推论及公式： 设a=（x，y），则a2=x2+y2，即|a|=． 两点A（x1，y1），B（x2，y2）间的距离公式为AB = ． a=(x1,y1)，b= (x2,y2)，它们的夹角为θ，则有 =0． 19