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2014届高三数学一轮复习(教材回扣考点分类课堂内外限时训练)专讲专练32导数的应用(一)
2014届高三数学一轮复习专讲专练(教材回扣+考点分类+课堂内外+限时训练):3.2 导数的应用(一)
一、选择题
1.设函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,cR).若x=-1为函数f(x)ex的一个极值点,则下列图像不可能为y=f(x)的图像是( )
A.
B.
C.
D.
解析:设F(x)=f(x)·ex,则F′(x)=ex[f′(x)+f(x)].
因为x=-1是F(x)的一个极值点,所以F′(-1)=0,得出f′(-1)+f(-1)=0,在选项D中,由图像观察得到f(-1)>0,f′(-1)>0,所以f(-1)+f′(-1)>0与f′(-1)+f(-1)=0矛盾,故选D.
答案:D
2.若a>0,b>0,且函数f(x)=4x3-ax2-2bx+2在x=1处有极值,则ab的最大值等于( )
A.2 B.3 C.6 D.9
解析:f′(x)=12x2-2ax-2b,
Δ=4a2+96b>0,又x=1是极值点,
f′(1)=12-2a-2b=0,即a+b=6.
ab≤=9,当且仅当a=b时“=”成立,所以ab的最大值为9,故选D.
答案:D
3.(2013·济宁模拟)若函数f(x)=x3-6bx+3b在(0,1)内有极小值,则实数b的取值范围是( )
A.(0,1) B.(-∞,1)
C.(0,+∞) D.
解析:由f′(x)=3x2-6b=0,得x=±(b>0),
0<<1,0<b<.
答案:D
4.已知对任意实数x,都有f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),且x>0时,f′(x)>0,g′(x)>0,则x<0时( )
A.f′(x)>0,g′(x)>0 B.f′(x)>0,g′(x)<0
C.f′(x)<0,g′(x)>0 D.f′(x)<0,g′(x)<0
解析:由题意知,f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,x>0时,f′(x)>0,g′(x)>0,即x>0时,f(x)是增函数,g(x)是增函数,所以x<0时,f(x)是增函数,g(x)是减函数,即x<0时,f′(x)>0,g′(x)<0.
答案:B
5.(2013·德州联考)已知y=f(x)是定义在R上的函数,且f(1)=1,f′(x)>1,则f(x)>x的解集是( )
A.(0,1) B.(-1,0)(0,1)
C.(1,+∞) D.(-∞,-1)(1,+∞)
解析:令F(x)=f(x)-x,则F′(x)=f′(x)-1>0,所以F(x)是增函数,故易得F(x)>F(1)的解集,即f(x)>x的解集是(1,+∞).
答案:C
6.(2013·烟台质检)已知函数f(x)=4x+3sinx,x(-1,1),如果f(1-a)+f(1-a2)<0成立,则实数a的取值范围为( )
A.(0,1) B.(1,)
C.(-2,-) D.(-∞,-2)(1,+∞)
解析:f(x)=4x+3sinx,x(-1,1),
f′(x)=4+3cosx>0在x(-1,1)上恒成立.
f(x)在(-1,1)上是增函数.
又f(x)=4x+3sinx,x(-1,1)是奇函数,
不等式f(1-a)+f(1-a2)<0可化为f(1-a)<f(a2-1).
从而可知,a需满足解得1<a<.
答案:B
二、填空题
7.若函数y=a(x3-x)在区间上为减函数,则a的取值范围是__________.
解析:y′=a(3x2-1),函数在上为减函数,
y′≤0在上恒成立.3x2-1<0,a≥0.
当a=0时,函数为常数函数,不合题意,a>0.
答案:a>0
8.已知函数f(x)=x3-3a2x+a(a>0)的极大值为正数,极小值为负数,则a的取值范围是__________.
解析:f′(x)=3x2-3a2=3(x+a)(x-a),由f′(x)<0,得-a<x<a.f(x)在区间(-∞,-a)内递增,在区间[-a,a]内递减,在区间[a,+∞)内递增,极大值为f(-a)=2a3+a=a(2a2+1)>0,
极小值为f(a)=a(1-2a2)<0,
由得a.
答案:
9.(2013·绵阳模拟)图是函数y=f(x)的导函数的图像,给出下面四个判断.
①f(x)在区间[-2,-1]上是增函数;
x=-1是f(x)的极小值点;
f(x)在区间[-1,2]上是增函数,在区间[2,4]上是减函数;
x=3是f(x)的极小值点.
其中,所有正确判断的序号是__________.
解析:由函数y=f(x)的导函数的图像可知:
(1)f(x)在区间[-2,-1]上是减函数,在[-1,2]上为增函数,在[2,4]上为减函数;
(2)f(x)在x=-1处取得极小值,在x=2处取得极大值.
故正确.
答案:
三、解答题
10.设a>0,讨论函数f
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