数学归纳法教案16475799.doc

2.3数学归纳法及应用（一） 主讲人：张志忠 一.教学目标 1.知识目标:借助具体实例了解数学归纳法的基本思想.(即原理的科学性); .掌握数学归纳法的步骤,并能证明一些简单的与正整数有关的数学命题. 2.能力目标:通过数学归纳法的教学进一步培养学生归纳、类比推理能力和论证能力. 3.情感态度与价值观目标:通过多米诺骨牌游戏的演示和数学归纳法的应用激发学生对数学的学习兴趣,感受数学归纳法在数学发现中的重要作用.养成言之有理、论证有据的习惯. 二.教学重点和难点: 重点:讲清数学归纳法的原理及简单应用. 难点：归纳法的原理的理解及运用数学归纳法时，在“归纳递推”的步骤中发现具体的递推关系. 三：探究类比法. 四: 教学设计: （一）思考？ 问题 1：数列{}的通项公式为＝计算得 猜出数列{}的通项公式为：＝ 问题2：教师根据学生的成绩单逐一核实，得到结论“全班及格”. 请问： (1) 以上两个结论正确吗？为什么? (2) 得出以上结论所用的方法有什么共同点和什么不同点？ 1、错，=25≠1； 2、对. 共同点：均用了归纳法得出结论；不同点：问题1是用的不完全归纳法，问题2是用的完全归纳法 （二）实验探究: 1、现在桌上立着许多小木块，我们当然可以一块一块地把它们全部推倒，但现在只允许推倒一块，你有什么办法做到使它们全部倒下吗？如果有办法，小木块应怎样摆？应先推倒哪一块？ 答：小木块全部倒下满足的条件： （1）第一块倒下； （2）若前一块倒下，则后一块也必倒下。 问：满足条件1，不满足条件2，结果怎样？只满足条件2呢？ 2. 多米诺骨牌演示 探究：要使骨牌全部倒下，需同时满足两个条件： （1）第一块骨牌倒下（基础）； （2）假设第K块骨牌倒下，保证第K+1块骨牌一定倒下（递推）. （三）类比得出数学归纳法原理: 我们知道，有一些命题是和正整数n有关的，如果这个命题n的取值是无限个，那么我们不可能用完全归纳法逐一进行证明，而不完全归纳法又不可靠，怎么办？ 步骤：①（归纳奠基）验证当n取第一个时命题成立. ②（归纳递推）假设n=k(k∈ ,k≥)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立. ： ③根据①②得出对从 开始的所有的正整数命题都成立. 这种证明方法叫做数学归纳法. (四)例题分析 例1用数学归纳法证明: 分析：（1）结构特点？（2）怎样验证n=1时等式成立？（3）如何实现n=k到n=k+1的过渡？（4）书写要体现“两个步骤，一个结论”的模式. 例2. 数列{}其通项公式为=2n－ 1 （n∈N ） (1) 试计算前n项和的 前4项：; （2）猜测= ，并用数学归纳法证明. （1）学生解答 ；（2）教师引导. 证明：①当n=1时，左边=1，右边=1，等式成立. ②假设n=k(k∈ ,k≥1)时等式成立, 即：=k2 当n=k+1,=+= +[2(k+1)-1]= k2+2k+1=(k+1)2 所以当n=k+1时等式也成立.由①和②可知，对n∈，原等式都成立. 请问：第②步中“当n=k+1时”的证明可否改换为： 1+3+5+…+(2k-1)+[2(k+1)-1]= 1+3+5+…+(2k-1)+(2k+1) == (k+1)2 ?为什么？ （五）课堂练习:p95.1p.96.1(1) （六）小结数学归纳法的概念及应用 1.数学归纳法只适用于和正整数有关的数学命题. 2.用数学归纳法证明问题，.三个步骤缺一不可.第一步是奠基步骤，是命题论证的基础，称之为归纳基础. 第二步是归纳递推，是推理的依据，是判断命题的正确性能否由特殊推广到一般，它反映了无限递推关系，其中 “假设n=k时成立”称为归纳假设(注意是“假设”，而不是确认命题成立). 没有第一步，第二步就没有了意义；没有第二步，就成了不完全归纳，结论就没有可靠性. 第二步中证明n=k+1命题成立是全局的主体，力求详细，不可随意省略，主要注意两个 “凑”：一是“凑”n=k时的形式（这样才好利用归纳假设）二是“凑”目标式. (七).布置作业:p95.2.p96.1(3) 补充题：计算出数列：1，1+2+1， 1+2+3+2+1…1+2+3+…+n+…+3+2+1的前四项，并猜想出数列的通项公式. 并用数学归纳法证明. （八）课后反思: