2013年湖南高考理科数学试题(word版).doc

绝密★启用前 2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理 本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共5页，时量120分钟，满分150分一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数为虚数单位)在复平面上对应的点位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2. 某学校有男、女学生各500名.为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是 A．抽签法 B．随机数法 C．系统抽样法 D．分层抽样法 3. 在锐角中，角所对的边长分别为. 若 A． B． C． D． 4. 若变量满足约束条件，的最大值是 【 】 A． B． C． D． 5. 函数的图像与函数的图像的交点个数为 A．3 B．2 C．1 D．0 6. 已知是单位向量，. 若向量满足的取值范围是 A． B． C． D． 7．已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于 A． B． C． D． 8. 在等腰三角形中，点是边上异于的一点，光线从点出发，经发射后又回到原点（如图）.若光线经过的心，则等于 A． B． C． D． 二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分. （一）选做题（请考生在第9、10、11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题计分） 9. 在平面直角坐标系中，若 (t为参数) 过椭圆 (　为参数) 的右顶点，则常数 .10. 已知，则的最小值为 . 11. 如图2，在半径为的中, 弦，，则圆心O到弦CD的距 离为 . (二) 必做题（12-16题） 12. 若 . 13. 执行如图3所示的程序框图，如果输入，则输出的的值为 . 14．设是双曲线的两个焦点，P是C上一点，若且的最小内角为，则C的离心率为 15．设为数列的前n项和，则 （1）_____； （2）___________16．设函数 （1）记集合，则 所对应的的零点的取值集合为（2）若的三条边长，则下列结论正确的是 .（写出所有正确结论的序号） ① ② 不能构成一个三角形的三条边长； ③ 若使． 三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分） 已知函数. （I）若是第一象限角，且求的值； （II）求使成立的x的取值集合。 18．（本小题满分12分） 某人在如图4所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横的交叉点三角形的顶点）处都种了一株相同品种的作物。根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y（单位：kg）与它的 “相近” 作物株数X之间的关系如下表所示： X 1 2 3 4 Y 51 48 45 42 这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米（I）从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好 “相近” 的概率； （II）从所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望 19．（本小题满分12分） 如图5，在直棱柱 （I）证明：； （II）求直线所成角的正弦值。 20．（本小题满分13分） 在平面直角坐标系xOy中，将从点M出发沿纵、横方向到达点N的任一路径成为M到N的一条“L路径”。如图6所示的路径都是M到N的“L路径”。某地有三个新建的居民区，分别位于平面xOy内三点处。现计划在x轴上方区域（包含x轴）内的某一点P处修建一个文化中心。 （I）写出点P到居民区A的“L路径”长度最小值的表达式（不要求证明）； （II）若以原点O为圆心，半径为1的圆的内部是保护区，“L路径”不能进入保护区，请确定点P的位置，使其到三个居民区的“L路径”长度和最小。 21．（本小题满分13分） 过抛物线的焦点F作斜率分别为的两条不同的直线，且，相交于点A，B，相交于点C，D。以AB，CD为直径的圆M，圆N（M，N为圆心）的公共弦所在的直线记为。 （I）若，证明；（II）若点M到直线的距离的最小值为，求抛物