函数的奇偶性与周期性---高考.doc

函数的奇偶性与周期性 第一节 函数的奇偶性 一、两个引例 考察函数和函数，其图如下所示： 1、在函数中（填＞、＜、＝）， ；；； 。。。。。 由此可知对于任意的， 2、又在函数中 ；；； 。。。。。 由此可知对于任意的， 二、奇偶函数的定义及其图像特征 若函数的定义域关于原点对称且满足，则称函数是偶函数。其图像关于轴对称 若函数的定义域关于原点对称且满足，则称函数是奇函数。其图像关于原点轴对称 记忆规律：奇提“-”偶不提“-” 对“定义域关于原点对称”的理解（注意与“图像关于原点对称”的区别）： 即原点是定义域的“中心” 如下区间是关于原点对称的：，，， 而如下区间不是关于原点对称的：，， 注意：定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要而不充分条件。也就是说，“定义域关于原点对称函数不一定具有奇偶性，但定义域不关于原点对称函数一定不具有奇偶性”。 如：函数，虽然定义域关于原点对称函数，但是非非函数；函数定义域不关于原点对称，所以也是非非函数 【及时反馈】 1、如果定义在区间的函数是奇函数，则= 2、已知是偶函数，是奇函数，请把下图补充完整 4．(2011·泰州模拟)设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(3)＋ f(－2)＝2，则f(2)－f(3)＝________. 解析：因为f(x)是定义在R上的奇函数， 所以f(－x)＝－f(x) 所以f(2)－f(3)＝－f(－2)－f(3)＝－2. 答案：－2 1.（安徽理3） 设是定义在上的奇函数，当时，，则 （A） (B) （Ｃ）１　　　　　　（Ｄ）【答案】A 【命题意图】本题考查函数的奇偶性，考查函数值的求法.属容易题. 【解析】.故选A. 是定义在上的奇函数，当时，则 2．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)＝2x－3，则f(－2)＝(　 ) A．1 B．－1C．－ D. 答案：B 3．对于定义在R上的任何奇函数，均有(　　) A．f(x)·f(－x)≤0 B．f(x)－f(－x)≤0 C．f(x)·f(－x)＞0 D．f(x)－f(－x)＞0 解析：选A.f(－x)＝－f(x)， f(x)·f(－x)＝－[f(x)]2≤0.3．(2011·高考浙江卷)若函数f(x)＝－|x＋a|为偶函数，则实数a＝________. 解析（一）：∵函数f(x)＝－|x＋a|为偶函数， ∴f(－x)＝f(x)，即－|－x＋a|＝x2－|x＋a|， ∴|－x＋a|＝|x＋a|，∴a＝0. 答案：0 解析（二）：赋值法，由f(－1)＝f(1)即得 解析（三）：由性质“偶+偶” 7、若函数为偶函数，则a=（ ） A) B) C) D) （解答提示：建议用赋值法简单多了） 2．(2011·高考辽宁卷)若函数f(x)＝为奇函数，则a＝(　　) A. B. C. D．1 解析：选A.f(－x)＝－f(x)， ＝－， (2a－1)x＝0，a＝. f(x)＝＋是R上的偶函数，求a的值； 因为f(x)是偶函数， 所以有f(－x)＝f(x)， 即＋＝＋， (a－)(ex－)＝0对一切xR成立． 又ex－不恒为0， a－＝0即a2＝1，a＝±1. 是偶函数，则与定义等价的形式有、 2、若是奇函数，则与定义等价的形式有、 （是偶函数；是奇函数。简记为：“奇变偶不变” 或奇提“-”偶不提“-” 。 例1、判断下列函数的奇偶性。 （1）、 （2）、 （3）、 答案：既奇又偶函数（why?） （4）、 解题反思：先变形，后判断 （5）、 解题反思：注意变形式的使用 【举一反三】 ①若题目改成呢？ ②2005年贵州高考----已知函数中，则？） （6）、 【举一反三】 若题目改成呢？ ②(2012·成都调研)若函数f(x)＝2x＋2－x与g(x)＝2x－2－x的定义域为R，则(　　) A．f(x)与g(x)均为偶函数B．f(x)为奇函数，g(x)为偶函数 C．f(x)与g(x)均为奇函数D．f(x)为偶函数，g(x)为奇函数 解析：选D.f(－x)＝2－x＋2x＝f(x)，f(x)为偶函数． 又 g(－x)＝2－x－2x＝－(2x－2－x)＝－g(x)，g(x)为奇函数，故选D. (6)f(x)＝x2－|x－a|＋2. f(x)的定义域是(－∞，＋∞)， 当a＝0时，f(x)＝x2－|x|＋2， f(－x)＝x2－|－x|＋2＝x2－|x|＋2＝f(x)， 因此f(x)是偶函数； 当a≠0时，f(a)＝a2＋2， f(－a)＝a2－|2a|＋2， f(－a)≠f(a)，