数值分析(研究生)第七章常微分方程的数值解法一.ppt

* 上页 下页 返回 第七章 常微分方程的数值解法（一） 第一节 实际问题的导入 第二节 欧拉法 第三节 龙格—库塔法 ? 考虑一阶常微分方程的初值问题 : 只要 f (x, y) 在[a, b] ? R1 上连续，且关于 y 满足 Lipschitz 条件，即存在与 x, y 无关的常数 L 使 对任意定义在 [a, b] 上的 y1(x) 和 y2(x) 都成立，则上述IVP存在唯一解. 数值解法：要计算出解函数 y(x) 在一系列节点 a = x0 x1… xn= b 处的函数值的近似值 §1 实际问题的导入 节点间距 为步长，通常采用等距节点，即取 hi = h (常数). 数值解法的基本特点：采用步进式，即求解过程顺着节点排列的次序一步一步地向前推进，其关键是给出用已知信息 计算 的递推公式. 1.建立求数值解的递推公式.可分为单步法公式和多步法公式. 其中,计算 时只用到前一点的值 的公式,称为单步法公式;而要用到前面k点的值 的公式称为k步法公式. 2.研究公式的局部截断误差、整体截断误差. 3.研究公式的收敛性、稳定性及收敛的阶. 本章要解决的主要问题是： 1.差商替换法 此即为解一阶常微分方程初值问题的欧拉公式. 当用不同的差商替代导数时，就得到不同的计算公式. 建立数值解法，一般采用以下方法将微分方程离散化： 2.数值积分法 3.泰勒展开法 若对右端积分采用其它数值积分方法，也可得其它的计算公式. §2 Euler法 一、 欧拉公式 x0 x1 向前差商近似导数 记为 亦称为欧拉折线法 定义 　　　在假设 yi = y(xi)，即第 i 步计算是精确的前提下，考虑的截断误差 Ri = y(xi+1) ? yi+1 称为局部截断误差. 定义 　　　若某算法的局部截断误差为O(hp+1)，则称该算法有p 阶精度. ? 欧拉法的局部截断误差： 欧拉法具有 1 阶精度. Ri 的主项 二、 局部截断误差与方法的精度 例1 用欧拉方法求解初值问题 解 解此问题的欧拉公式为 计算结果如下表所示(取步长h=0.1)： 1.7321 1.7848 1.0 1.4142 1.4351 0.5 1.6733 1.7178 0.9 1.3416 1.3582 0.4 1.6125 1.6498 0.8 1.2649 1.2774 0.3 1.5492 1.5803 0.7 1.1832 1.1918 0.2 1.4832 1.5090 0.6 1.0954 1.1000 0.1 三、 欧拉公式的改进 ? 隐式欧拉法 向后差商近似导数 x0 x1 )) ( , ( ) ( 1 1 0 1 x y x f h y x y + ? ) 1 , ... , 0 ( ) , ( 1 1 1 - = + = + + + n i y x f h y y i i i i 由于未知数 yi+1 同时出现在等式的两边，不能直接得到，故称为隐式 欧拉公式，而前者称为显式 欧拉公式. 一般先用显式计算一个初值，再迭代求解. ? 隐式欧拉法的局部截断误差： 即隐式欧拉公式具有 1 阶精度. ? 梯形公式 — 显、隐式两种算法的平均 注：的确有局部截断误差 ， 即梯形公式具有2 阶精度，比欧拉方法有了进步.但注意到该公式是隐式公式，计算时不得不用到迭代法，其迭代收敛性与欧拉公式相似. ? 中点欧拉公式（二步尤拉公式） 中心差商近似导数 x0 x2 x1 假设 ，则可以导出 即中点公式具有 2 阶精度. 需要2个初值 y0和 y1来启动递推 过程，这样的算法称为双步法 ， 而前面的三种算法都是单步法 . 方 法 ? ? 显式欧拉 隐式欧拉 梯形公式 中点公式 简单 精度低 稳定性最好 精度低, 计算量大 精度提高 计算量大 精度提高, 显式 多一个初值, 可能影响精度 Step 1: 先用显式欧拉公式作预测，算出 ) , ( 1 i i i i y x f h y y + = + Step 2: 再将 代入隐式梯形公式的右边作校正，得到 1 + i y )] , ( ) , ( [ 2 1 1 1 + + + + + = i i i i i i y x f y x f h y y 注：此法亦称为预测-校正法 .可以证明该算法具