数值分析课件2015xin王兵团-数值分析复习题.doc

第一章 绪论 习题一1.设x0,x*的相对误差为δ，求f(x)=ln x的误差限。解：求lnx的误差极限就是求f(x)=lnx的误差限，由公式(1.2.4)有已知x*的相对误差满足，而，故即2.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，试指出它们有几位有效数字，并给出其误差限与相对误差限。解：直接根据定义和式(1.2.2)(1.2.3)则得有5位有效数字，其误差限，相对误差限有2位有效数字，有5位有效数字，3.下列公式如何才比较准确？（1）（2）解：要使计算较准确，主要是避免两相近数相减，故应变换所给公式。（1）（2）4.近似数x*=0.0310,是位有数数字。5.计算取，利用 ：式计算误差最小。四个选项：第章插值与习题1. 给定的数值表 用线性插值与二次插值计算ln0.54的近似值并估计误差限. 仍可使用n=1及n=2的Lagrange插值或Newton插值,并应用误差估计（5.8）。线性插值时，用0.5及0.6两点，用Newton插值误差限，因，故二次插值时，用0.5，0.6，0.7三点，作二次Newton插值误差限，故2. 在-4≤x≤4上给出的等距节点函数表，若用二次插值法求的近似值，要使误差不超过，函数表的步长h应取多少? 用误差估计式（5.8），令因得3. 若，求和. 解：由均差与导数关系于是4. 若互异，求的值，这里p≤n+1. ：，由均差对称性可知当有而当P＝n＋1时于是得5. 求证. 解：解：只要按差分定义直接展开得6. 已知的函数表 求出三次Newton均差插值多项式，计算f(0.23)的近似值并用均差的余项表达式估计误差. 解：根据给定函数表构造均差表由式(5.14)当n=3时得Newton均差插值多项式N3(x)=1.0067x+0.08367x(x-0.2)+0.17400x(x-0.2)(x-0.3)由此可得f(0.23) N3(0.23)=0.23203由余项表达式(5.15)可得由于 7. 给定f(x)=cosx的函数表 用Newton等距插值公式计算cos 0.048及cos 0.566的近似值并估计误差：先构造差分表算，用n=4得Newton前插公式误差估计由公式（5.17）得其中计算时用Newton后插公式（5.18)误差估计由公式（5.19）得这里仍0.565 求一个次数不高于四次的多项式p(x),使它满足：这种题目可以有很多方法去做，但应以简单为宜。此处可先造使它满足，显然，再令p(x)=x2(2-x)+Ax2(x-1)2由p(2)=1求出A＝ ，于是9. 令称为第二类Chebyshev多项式，试求的表达式，并证明是［-1,1］上带权的正交多项式序列解：因 10. 用最小二乘法求一个形如的经验公式，使它拟合下列数据，并计算均方误差. ：本题给出拟合曲线，即，故法方程系数法方程为解得最小二乘拟合曲线为均方程为11. 填空题　　(1) 满足条件的插值多项式p(x)=(　　).　　(2) ,则f［1,2,3,4］=(　　)，f［1,2,3,4,5］=(　　).　　(3) 设为互异节点，为对应的四次插值基函数，则＝(　　)，＝(　　).　　(4) 设是区间［0,1］上权函数为ρ(x)=x的最高项系数为1的正交多项式序列，其中，则＝(　　)，＝(　　答：（1）（2）（3）（4）第章　数 值 积 分习题1. 分别用复合梯形公式及复合Simpson公式计算下列积分.　　　　　解　　本题只要根据复合梯形公式（6.11）及复合Simpson公式（6.13）直接计算即可。对，取n=8,在分点处计算f(x)的值构造函数表。按式（6.11）求出，按式（6.13）求得，积分2. 用Simpson公式求积分，并估计误差：直接用Simpson公式（6.7）得由（6.8）式估计误差，因，故3. 确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精确度尽量高，并指明求积公式所具有的代数精确度.　　(1) 　　(2) 　　(3) 解：本题直接利用求积公式精确度定义，则可突出求积公式的参数。（1）令代入公式两端并使其相等，得解此方程组得，于是有再令，得故求积公式具有3次代数精确度。（2）令代入公式两端使其相等，得解出得而对不准确成立，故求积公式具有3次代数精确度。（3）令代入公式精确成立，得解得，得求积公式对故求积公式具有2次代数精确度。4. 计算积分，若用复合Simpson公式要使误差不超过，问区间要分为多少等分?若改用复合梯形公式达到同样精确度，区间应分为多少等分?解：由Simpson公式余项及得即，取n=6，即区间分为12等分可使误差不超过