数值分析课件2015xin王兵团-数值分析复习题.doc

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数值分析课件2015xin王兵团-数值分析复习题

第一章 绪论 习题一 1.设x0,x*的相对误差为δ,求f(x)=ln x的误差限。解:求lnx的误差极限就是求f(x)=lnx的误差限,由公式(1.2.4)有 已知x*的相对误差满足,而,故 即2.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值,试指出它们有几位有效数字,并给出其误差限与相对误差限。 解:直接根据定义和式(1.2.2)(1.2.3)则得 有5位有效数字,其误差限,相对误差限 有2位有效数字, 有5位有效数字,3.下列公式如何才比较准确? (1) (2)解:要使计算较准确,主要是避免两相近数相减,故应变换所给公式。 (1) (2)4.近似数x*=0.0310,是位有数数字。5.计算取,利用 :式计算误差最小。四个选项:第章插值与习题1. 给定的数值表 用线性插值与二次插值计算ln0.54的近似值并估计误差限. 仍可使用n=1及n=2的Lagrange插值或Newton插值,并应用误差估计(5.8)。线性插值时,用0.5及0.6两点,用Newton插值 误差限,因,故 二次插值时,用0.5,0.6,0.7三点,作二次Newton插值 误差限,故 2. 在-4≤x≤4上给出的等距节点函数表,若用二次插值法求的近似值,要使误差不超过,函数表的步长h应取多少? 用误差估计式(5.8), 令 因 得3. 若,求和. 解:由均差与导数关系 于是4. 若互异,求的值,这里p≤n+1. :,由均差对称性可知当有 而当P=n+1时 于是得5. 求证. 解:解:只要按差分定义直接展开得 6. 已知的函数表 求出三次Newton均差插值多项式,计算f(0.23)的近似值并用均差的余项表达式估计误差. 解:根据给定函数表构造均差表 由式(5.14)当n=3时得Newton均差插值多项式 N3(x)=1.0067x+0.08367x(x-0.2)+0.17400x(x-0.2)(x-0.3) 由此可得 f(0.23) N3(0.23)=0.23203 由余项表达式(5.15)可得 由于 7. 给定f(x)=cosx的函数表 用Newton等距插值公式计算cos 0.048及cos 0.566的近似值并估计误差:先构造差分表 算,用n=4得Newton前插公式 误差估计由公式(5.17)得 其中 计算时用Newton后插公式(5.18) 误差估计由公式(5.19)得 这里仍0.565 求一个次数不高于四次的多项式p(x),使它满足:这种题目可以有很多方法去做,但应以简单为宜。此处可先造使它满足 ,显然,再令 p(x)=x2(2-x)+Ax2(x-1)2 由p(2)=1求出A= ,于是 9. 令称为第二类Chebyshev多项式,试求的表达式,并证明是[-1,1]上带权的正交多项式序列解:因 10. 用最小二乘法求一个形如的经验公式,使它拟合下列数据,并计算均方误差. :本题给出拟合曲线,即,故法方程系数 法方程为 解得 最小二乘拟合曲线为 均方程为 11. 填空题   (1) 满足条件的插值多项式p(x)=(  ).   (2) ,则f[1,2,3,4]=(  ),f[1,2,3,4,5]=(  ).   (3) 设为互异节点,为对应的四次插值基函数,则=(  ),=(  ).   (4) 设是区间[0,1]上权函数为ρ(x)=x的最高项系数为1的正交多项式序列,其中,则=(  ),=(  答: (1) (2) (3) (4)第章 数 值 积 分习题1. 分别用复合梯形公式及复合Simpson公式计算下列积分.      解  本题只要根据复合梯形公式(6.11)及复合Simpson公式(6.13)直接计算即可。 对,取n=8,在分点处计算f(x)的值构造函数表。按式(6.11)求出,按式(6.13)求得,积分2. 用Simpson公式求积分,并估计误差:直接用Simpson公式(6.7)得 由(6.8)式估计误差,因,故 3. 确定下列求积公式中的待定参数,使其代数精确度尽量高,并指明求积公式所具有的代数精确度.   (1)   (2)   (3) 解:本题直接利用求积公式精确度定义,则可突出求积公式的参数。 (1)令代入公式两端并使其相等,得 解此方程组得,于是有 再令,得 故求积公式具有3次代数精确度。(2)令代入公式两端使其相等,得 解出得 而对不准确成立,故求积公式具有3次代数精确度。(3)令代入公式精确成立,得 解得,得求积公式 对 故求积公式具有2次代数精确度。4. 计算积分,若用复合Simpson公式要使误差不超过,问区间要分为多少等分?若改用复合梯形公式达到同样精确度,区间应分为多少等分?解:由Simpson公式余项及得 即,取n=6,即区间分为12等分可使误差不超过

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